３ⁿ ＞ｎ・２ⁿ ＋１を数学的帰納法で証明すると、
（１）ｎ＝３のとき、
　　　　左辺＝３³ ＝２７
　　　　右辺＝３・２³ ＋１＝３・８＋１＝２５
　　　　したがって、左辺＞右辺
（２）ｎ＝ｋのとき下式が成り立つと仮定して、
　　　　３^k ＞ｋ・２^k ＋１
　　　ｎ＝ｋ＋１のとき、
　　　　左辺＝３^k+1 ＝３・３^k ＞３（ｋ・２^k ＋１）
　　　　　　＝３ｋ・２^k ＋３
　　　　右辺＝（ｋ＋１）２^k+1 ＋１
　　　　与式Ｐ＝左辺－右辺＝（３ｋ・２^k ＋３）－｛（ｋ＋１）２^k+1 ＋１｝
　　　　　　　＝３ｋ・２^k ＋３－（ｋ＋１）２^k+1 －１
　　　　　　　＝３ｋ・２^k ＋３－２（ｋ＋１）２^k －１
　　　　　　　＝３ｋ・２^k ＋３－（２ｋ＋２）２^k －１
　　　　　　　＝（ｋ－２）２^k ＋２
　　　　ｋ≧３より、（ｋ－２）＞０
　　　　指数はすべて正より、２^k ＞０より、
　　　　Ｐ＞０
　　　　したがって、左辺－右辺＞０∴左辺＞右辺
（１）（２）より、３以上の自然数のとき成り立つ。