f(x)=\(x^{3}\)-a\(x^{2}\)+ax-3aがあり、関数g(x)をg(x)=f(x)-xf ' (x)とする。ただし、ａは定数とする。
①f ' (x)，g(x)を求めよ。
②ａ＞0とする。g(x)の極大値、極小値をａを用いて表せ。
③ａ≠0とする。g(x)=0が異なる実数解を２つだけもつとき、定数ａの値とそのときの実数解を求めよ。
★希望★完全解答★
f(x)=\(x^{3}\)-a\(x^{2}\)+ax-3aがあり、関数g(x)をg(x)=f(x)-xf ' (x)とする。ただし、ａは定数とする。
①f ' (x)，g(x)を求めよ。
②ａ＞0とする。g(x)の極大値、極小値をａを用いて表せ。
③ａ≠0とする。g(x)=0が異なる実数解を２つだけもつとき、定数ａの値とそのときの実数解を求めよ。
★希望★完全解答★
①単純計算なので答だけ
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2－２ａｘ＋ａ
ｇ（ｘ）＝－２ｘ^3＋ａｘ^2－３ａ
②
ｇ’（ｘ）＝－２ｘ（３ｘ－ａ）
ｇ’（ｘ）＝０のとき ｘ＝０，ａ／３
ａ＞０より増減表（省略）を書いて
ｘ＝０のとき極小値－３ａ
ｘ＝ａ／３のとき極大値（ａ^3／２７）－３ａ
③
ｘ→－∞のときｇ（ｘ）→＋∞
ｘ→＋∞のときｇ（ｘ）→－∞である。
ａ＞０のとき
②より－３ａ＜０だから
（ａ^3／２７）－３ａ＝０のときちょうどふたつの実数解を持ち
ｘ＝ａ／３は重解であることはすぐ分る。
ａ＜０のとき
ｘ＝ａ／３（＜０）のとき極小値（ａ^3／２７）－３ａ
ｘ＝０のとき極大値－３ａ（＞０）だから
やはり（ａ^3／２７）－３ａ＝０のときちょうどふたつの実数解を持ち
ｘ＝ａ／３は重解である。
（ａ^3／２７）－３ａ＝０を解いて、ａ≠０より ａ＝\(\pm\)９
よって、ｘ＝\(\pm\)３が重解となって
ａ＝９のとき
ｇ（ｘ）＝－（ｘ－３）^2・（２ｘ＋３）＝０より ｘ＝３，－２／３
ａ＝－９のとき
ｇ（ｘ）＝－（ｘ＋３）^2・（２ｘ－３）＝０より ｘ＝－３，２／３