f(x)=\(x^{3}\)-3a\(x^{2}\)-9\(a^{2}\)x+12\(a^{2}\)がある。ただし、ａは定数とする。
①f ' (x)=0を満たすｘの値を求めよ。
②ａ＜0とする。ｘ≧0におけるf(x)の最小値を求めよ。
③ａ≦0とする。0≦ｘ≦2おいて、つねにf(x)≧0となるようなａの値の範囲を求めよ。
一応は解けたのですが、自信がありません。宜しくお願いします。
★希望★完全解答★
f(x)=\(x^{3}\)-3a\(x^{2}\)-9\(a^{2}\)x+12\(a^{2}\)がある。ただし、ａは定数とする。
①f ' (x)=0を満たすｘの値を求めよ。
②ａ＜0とする。ｘ≧0におけるf(x)の最小値を求めよ。
③ａ≦0とする。0≦ｘ≦2おいて、つねにf(x)≧0となるようなａの値の範囲を求めよ。
一応は解けたのですが、自信がありません。宜しくお願いします。
★希望★完全解答★
①
ｆ’（ｘ）＝３（ｘ＋ａ）（ｘ－３ａ）より
ｘ＝－ａ，３ａ
②
ａ＜０より－ａ＞０，３ａ＜０
増減表（省略）を書いて
ｘ≧０では、ｘ＝－ａのとき極小かつ最小となって
最小値は
ｆ（－ａ）＝５ａ^3＋１２ａ^2
③
ａ＝０のときは、ｆ（ｘ）＝ｘ^3となって題意を満たす。
ａ＜０のとき
０＜－ａ＜２すなわち－２＜ａ＜０のとき
ｆ（－ａ）≧０であればよい
よって、５ａ^3＋１２ａ^2≧０を解いて
ａ≧－１２／５
ところが、－２＜ａ＜０だから
－２＜ａ＜０でよい。
－ａ＞２すなわちａ＜－２のとき
ｆ（２）≧０であればよい
ｆ（２）＝－６ａ^2－１２ａ＋８≧０
ａ＜－２より
－１－（\(\sqrt{\quad}\)２１／３）≦ａ＜－２
なんかしっくりきません。
どこか間違っているかも知れません。