二通りの解答を示します。
後段の方がいいように思います。

【解答その１】
１）１番目の人が当たりくじを引けばよいから　３／９＝１／３・・・（答）
２）１番目の人がはずれくじを引き、２番目の人が当たりくじを引けばよいから
　　（６／９）×（３／８）＝１／４・・・（答）
３）Z-X＝７となるのは、X＝１かつZ＝８　または　X＝２かつZ＝９　のとき
　①X＝１かつZ＝８のとき
　　　　X＝１となる確率は１）より１／３
　　　　Z＝８となるのは、７番目の人が引き終わって、当たりくじ１本、はずれくじ１本が残っていて
　　　　８番目の人が当たりくじを引く場合
　　　　このとき８番目の人が当たりくじを引く確率は１／２
　　　　Ｙの値は２，３，４，５，６，７の６通りあって、Ｘ＝１だから
　　　　１番目の人が終わって、当たりくじ２本、はずれくじ６本あって
　　　　２番目から７番目の人のうち一人だけが当たりくじを引くことだから
　　　　Ｙの値が２，３，４，５，６，７のいずれかになる確率は
　　　　６×（６×５×４×３×２×２）／（８×７×６×５×４×３）＝３／７
　　　　以上からX＝１かつZ＝８となる確率は
　　　　（１／３）×（１／２）×（３／７）＝１／１４
　②X＝２かつZ＝９のとき
　　　　Ｘ＝２となる確率は２）より１／４
　　　　Ｚ＝９となるのは、８番目の人が引き終わって、当たりくじ１本だけ残っていて
　　　　このとき９番目の人が当たりくじを引く確率は１
　　　　Ｙの値は３，４，５，６，７，８の６通りあって、Ｘ＝２だから
　　　　２番目の人が終わって、当たりくじが２本、はすれくじが５本あって
　　　　３番目から７番目の人のうち一人だけだ当たりくじを引くことだから
　　　　Ｙの値は３，４，５，６，７，８のいずれかになる確率は
　　　　６×（５×４×３×２×１×２）／（７×６×５×４×３×２）＝２／７
　　　　以上からX＝２かつZ＝９となる確率は
　　　　（１／４）×１×（２／７）＝１／１４
　　　求める確率は①と②の場合の和だから
　　　　（１／１４）＋（１／１４）＝１／７・・・（答）
４）Ｙ＝５だから
　　Ｘの値は、１，２，３，４の４通りで
　　１番目から４番目の人のうち、一人だけ当たりくじを引くから
　　その確率は
　　４×（６×５×４×３）／（９×８×７×６）＝１０／２１
　　４番目の人が終わって、当たりくじは２本、はずれくじは３本あるから
　　Ｙ＝５なので５番目の人は当たりくじを引くから、その確率は　２／５
　　Ｚの値は６，７，８，９の４通りで
　　５番目の人が終わって、当たりくじは１本、はずれくじは３本あるから
　　このとき６番目から９番目の人の一人だけが当たりくじを引く確率は
　　当然のことながら　1
　　よって求める確率は
　　（１０／２１）×（２／５）×１＝４／２１・・・（答）

【回答その２】
１番の人から９番の人まで順にくじをひくのだから
逆に、３本の当たりくじと６本のはずれくじを、左から順に並べることを考える。
当たりくじを○、はずれくじを×と表すことにする。
３つの○と、６つの×の並び方は全部で
9Ｃ3＝８４通り。
（重複順列として、９！／（３！６！）＝８４としてもいいでしょう。）

１）Ｘ＝１だから
　一番左に○をおけばよいので、その並び方は残りのくじの並び方だから
　8Ｃ2＝２８通り
　よって求める確率は　２８／８４＝１／３・・・（答）
２）Ｘ＝２だから
　一番左に×、左から２番目に○をおけばよいので
　7Ｃ2＝２１通り
　よって求める確率は　２１／８４＝１／４
３）X＝１かつZ＝８　または　X＝２かつZ＝９の場合だから
　○（××○×××）○×　だだし（　）内の○は（　）内のどこにあってもよい。
　×○（××○×××）○　だだし（　）内の○は（　）内のどこにあってもよい。
　という場合だから
　それぞれ（　）内は６通りずつ、計１２通りあるので
　１２／８４＝１／７・・・（答）
４）Ｙ＝５だから
　（××○×）○（××○×）　だだし（　）内の○は（　）内のどこにあってもよい。

　（　）内の並び方は　４×４＝１６通りあるので
　求める確率は　１６／８４＝４／２１・・・（答）