（回答）
18x-43y=1・・・（１）
⇔18(x-12)=43(y-5)
ここで　１８と４３は互いに素なので、x-12は４３の倍数であることが必要。
（この１行がこの問題のポイント）

したがって、x-12=43m （m∈Ｚ）とおける。
このとき、（１）から　y　を計算すると
y=18m+5となり、yも整数となることから、十分である。
以上から、(x , y)が18x-43y=1の整数解であるための必要十分条件は
(x , y)=(43m+12 , 18m+5)　(m∈Ｚ)・・・（＊）であることである。

おそらく先生が要求している説明は、問題の答えを出すだけではなく、
（＊）が必要十分条件であることをきちんと証明することだと思います。

（ｘ，ｙ）＝（１２＋４３ｍ，５＋１８ｍ）であることを
どのような解法で導いたのか不明なので、なんとも言えませんが、
（ｘ，ｙ）＝（１２＋４３ｍ，５＋１８ｍ）が
整数ｍの値に関係なく
１８ｘ－４３ｙ＝１を満たすことを、確認すればいいでしょう。
すなわち、（ｘ，ｙ）＝（１２＋４３ｍ，５＋１８ｍ）を
１８ｘ－４３ｙに代入して、どんなｍでも成り立つことを示すことです。

質問の趣旨が違うかもしれないので、私なりの解答を示します。

ｘ＝（４３ｙ＋１）／１８＝｛４３（ｙ－５）＋２１６｝／１８
　＝｛４３（ｙ－５）／１８｝＋１２

※４３（ｙ－ａ）＋ｂ＝４３ｙ＋１が１８の倍数となるようなａ，ｂを見つける
　　ａ＝０，１，２・・・１２　などとやってみる

１２は整数で、４３と１８は互いに素であるから
ｙ－５は１８の倍数
よって
任意の整数ｍに対して
ｙ＝１８ｍ＋５
よって
ｘ＝４３ｍ＋１２

合同式を使ってよいなら

４３ｙ＋１は１８の倍数だから
４３ｙ＋１≡０（ｍｏｄ１８）
４３ｙ≡－１（ｍｏｄ１８）・・①
５４ｙ≡０（ｍｏｄ１８）・・②
①②から
１１ｙ≡１（ｍｏｄ１８）
よって
４４ｙ＝４（ｍｏｄ１８）・・③
①③より
ｙ≡５（ｍｏｄ１８）
以上から
任意の整数ｍにたいして
ｙ＝１８ｍ＋５
ｘ＝４３ｍ＋１２

もうひとつ、あまり利用されない解答ですが
個人的には好きです。

１８ｘ＝４３ｙ－１＝１８・２ｙ＋７ｙ＋１
つまり　７ｙ＋１　は１８の倍数
７ｙ＋１＝１８ａ（ａは整数）とおくと
ｙ＝（１８ａ－１）／７＝２ａ＋（４ａ－１）／７
つまり　４ａ－１は７の倍数
４ａ－１＝７ｂ（ｂは整数）とおくと
ａ＝（７ｂ＋１）／４＝ｂ＋（３ｂ＋１）／４
つまり　３ｂ＋１　は４の倍数
３ｂ＋１＝４ｃ（ｃは整数）とおくと
ｂ＝（４ｃ－１）／３＝ｃ＋（ｃ－１）／３
つまり　ｃ－１　は３の倍数
したがって
任意の整数ｍに対して
ｃ＝３ｍ＋１
ｂ＝３ｍ＋１＋ｍ＝４ｍ＋１
ａ＝４ｍ＋１＋（１２ｍ＋３＋１）／４＝７ｍ＋２
ｙ＝１４ｍ＋４＋（２８ｍ＋７）／７＝１８ｍ＋５