A を n 次正方行列とし、
写像　f(x)＝Ax　(x∈\(R^{n}\) ) -----------(1)
が、逆写像 g をもつとする。
f は線形写像だから、その逆写像 g も線形写像であり(定理)
B を適当な n 次正方行列として
g(y)＝By　　　　と一意的に表わされる。( 定理 ) -------(2)
逆写像の性質より、任意の x について
g(f(x))＝x
(1) (2) を代入すると
BA x＝E x
線形写像の行列による表示は一意的なので（定理）
BA＝E ---------------(3)
同様に、任意の y について
f(g(y))＝y　　より
ABy＝Ey　　となって
AB＝E --------------(4)
(3) (4) より　A は逆行列 B をもつ。