Ⅰ．A,B,C,Dの各クラスから少なくとも１人は委員を出して７人の委員会
を作る。委員会のクラス構成は何通りあるか。
Ⅱ．１辺の長さが１の正方形の頂点を時計回りにA,B,C,Dとする。硬貨を
投げて、表ならば２，裏ならば１時計回りに周上を動く運動を考える。
Aから出発して硬貨を１０回投げたとき２の１０乗通りの動き方があるが、
その内最後にAにいる場合は何通りあるか。
Ⅲ．x,y,zは正の整数で三角形の３辺をなし、和が20であるという。この
様な正の整数の組(x,y,z)は何組あるか。また合同でない三角形はいくつ
あるか。
Ⅳ．１２段の階段を１歩１段か２段をまじえて登る方法は、全部で何通り
あるか。
問１
やり方は２つある。全部書き出す方法と垣根を入れる方法である。
まず全部書き出す方法でやると、
Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄ
４－１－１－１
３－１－１－２
３－１－２－１
３－２－１－１
２－１－１－３
２－１－３－１
２－３－１－１
２－１－２－２
２－２－１－２
２－２－２－１
１－１－１－４
１－１－４－１
１－４－１－１
１－１－２－３
１－２－１－３
１－２－３－１
１－１－３－２
１－３－１－２
１－３－２－１
１－２－２－２
以上より、２０通り……（答）
垣根を入れる方法だと、
各クラス少なくとも一人が入るから、７人の内、４人は決まったことに
して、残りの３人を垣根式で求めると、ＡＢＣＤのクラスに３人の○が
入る場合の数は、例えば○○｜○｜｜とすると、これはＡＡＢという風
に、Ａ組から２人、Ｂ組から１人、Ｃ組とＤ組からは無しと読みとりま
す。これは○３個と｜３個より、６個の中から３つ選ぶ組合せなので、
６・５・４
6Ｃ3＝─────＝２０通り……（答）
３・２・１
問２
Ａ────Ｂ
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
Ｄ────Ｃ
各辺の長さを１とする。右回りに回るわけだが、同じ点Ａにくるのは、
４の倍数だから、４，８，１２，１６，２０，２４……となるが、硬貨
１０回投げるので、１０×１＝１０または、１０×２＝２０より、
１０≦Ｍ≦２０となる。なお、Ｍは移動距離である。
（１）Ｍ＝１２のとき、
１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋２＋２＝１２
１０回中２回２がくるのは、
１０・９
10Ｃ2 ＝────＝４５通り
２・１
（２）Ｍ＝１６のとき、
１＋１＋１＋１＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝１６
１０回中６回２がくるのは、
１０・９・８・７
10Ｃ6 ＝10Ｃ4 ＝────────＝２１０通り
４・３・２・１
（３）Ｍ＝２０のとき、
２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝２０
１０回中１０回２がくるのは、
10Ｃ10＝１通り
（１）（２）（３）より、
４５＋２１０＋１＝２５６通り……（答）
問３
※ここの解は、うっかり三角形であることを忘れて回答
してしまいましたので、３辺が１，１，１８のようなあり得ない
ものも答えにしてしまいました。ももっちさんからのお便りにより、
その点が指摘され、全面的に取り消しました。
アドバイス、ありがとうございます。（武田）
なお、正解は下のお便りをご覧下さい。
Ａ
ｘ／ ＼ｚ
／ ＼
Ｂ─────Ｃ
ｙ
問４
１２段の階段を考える前に、一段ずつ増やしてみましょう。
１段の時、１通り
２段の時、１＋１＝２通り
３段の時、１＋２＝３通り
４段の時、１＋３＋１＝５通り
５段の時、１＋４＋３＝８通り
したがって、この数列はフィボナッチ数列だから、
このあと、
６段の時、５＋８＝１３通り
７段の時、８＋１３＝２１通り
８段の時、１３＋２１＝３４通り
９段の時、２１＋３４＝５５通り
１０段の時、３４＋５５＝８９通り
１１段の時、５５＋８９＝１４４通り
１２段の時、８９＋１４４＝２３３通り ……（答）
Ⅲ．x,y,zは正の整数で三角形の３辺をなし、和が20であるという。この
様な正の整数の組(x,y,z)は何組あるか。また合同でない三角形はいくつ
あるか。
この問題なんですが、三角形の性質で
ｙ－ｚ＜ｘ＜ｙ＋ｚ、ｚ－ｘ＜ｙ＜ｚ＋ｘ、ｘ－ｙ＜ｚ＜ｘ＋ｙという
のを問題集で見つけました。それと武田先生の送って下さった解答とを
あわせて考えてみたんですが、この性質の後半部分、例えばｘ＜ｙ＋ｚ
を使って、ｘ＜ｙ＋ｚ→ｘ＜20－ｘ→ｘ＜10となり、
同様にy＜10、z＜10というのも出てきます。
それでｘ＝１の時からｘ＝９の時までを書き出していくと、
下のようになりました。
ｘ＝１の時 （ｙ、ｚ）→なし。
ｘ＝２の時 （ｙ、ｚ）→（9,9）→１通り
ｘ＝３の時 （ｙ、ｚ）→（9,8）（8,9）→２通り
ｘ＝４の時 （ｙ、ｚ）→（9,7）（8,8）（7,9）→３通り
ｘ＝５の時 （ｙ、ｚ）→（9,6）（8,7）（7,8）（6,9）→４通り
ｘ＝６の時 （ｙ、ｚ）→（9,5）（8,6）（7,7）（6,8）（5,9）→５通り
ｘ＝７の時 （ｙ、ｚ）→（9,4）（8,5）（7,6）（6,7）（5,8）（4,9）→６通り
ｘ＝８の時 （ｙ、ｚ）→（9,3）（8,4）（7,5）（6,6）（5,7）（4,8）（3,9）→７通り
ｘ＝９の時 （ｙ、ｚ）→（9,2）（8,3）（7,4）（6,5）（5,6）（4,7）（3,8）（2,9）→ ８通り
それで和の法則で、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝３６（通り）と
なったのですが、これはあっているのでしょうか。
先生の送って下さった解答だと、ｘ＜10、y＜10、ｚ＜10にあわないもの
があるのですが・・・。
それと合同でない三角形は（2,9,9）（9,2,9）（9,9,2）の３通りは合同で、
（3,8,9）（3,9,8）（8,9,3）（8,3,9）（9,3,8）（9,8,3）の６通りは合同
だから、この様に考えていくと、
（2,9,9）（3,8,9）（4,7,9）（4,8,8）（5,6,9）（5,7,8）（6,6,8）（6,7,7）
の８個が合同でない三角形と出てきたのですが・・・。
お手数ですが、これで答え合わせをしてみていただけないでしょうか。
どうかよろしくお願いします。
全面的に正解です。