武田先生、失礼します。
合成関数の微分の問題で、「f(x)＝1／\(\sqrt{\quad}\){x2乗＋2x}をxで微分せよ」
というのがあるのですが、
この問題を解くときに、
1／\(\sqrt{\quad}\){x2乗＋2x}＝（\(\sqrt{\quad}\){x2乗＋2x}）－1乗＝（x2乗＋2x）－\(\frac{1}{2}\)乗
としてから、合成関数の微分の公式に当てはめると上手くいくのですが、
先に合成関数の微分の公式に当てはめて、
(1／\(\sqrt{\quad}\){x2乗＋2x})'(x2乗＋2x)'
とすると、なんだかヘンになってしまうのですが、
これは上の方法で解くべきということなのですか？
①合成関数の微分は次のようにやります。
１
ｙ＝────────
\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）
\(\sqrt{\quad}\)の中をｔとおくと、
ｔ＝ｘ2 ＋２ｘ
ｄｔ
──＝２ｘ＋２
ｄｘ
１
ｙ＝──＝ｔ-\(\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{\quad}\)ｔ
ｄｙ １
──＝－─ｔ-\(\frac{3}{2}\)
ｄｔ ２
したがって、
ｄｙ ｄｙ ｄｔ １
──＝──・──＝－─ｔ-\(\frac{3}{2}\)・（２ｘ＋２）
ｄｘ ｄｔ ｄｘ ２
ｘ＋１ ｘ＋１
＝－───＝－─────────────── ……（答）
ｔ\(\sqrt{\quad}\)ｔ （ｘ2 ＋２ｘ）\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）
②商の微分の公式を使うと、
１
ｙ′＝｛────────｝′
\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）
｛\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）｝′
＝－───────────
｛\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）｝2
２ｘ＋２
─────────
２\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）
＝－────────────
（ｘ2 ＋２ｘ）
ｘ＋１
＝－─────────────── ……（答）
（ｘ2 ＋２ｘ）\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）
③指数化して微分すると、
１
ｙ′＝｛────────｝′
\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）
＝｛（ｘ2 ＋２ｘ）-\(\frac{1}{2}\)｝′
１
＝－─（ｘ2 ＋２ｘ）-\(\frac{3}{2}\)・（ｘ2 ＋２ｘ）′
２
１
＝－─（ｘ2 ＋２ｘ）-\(\frac{3}{2}\)・（２ｘ＋２）
２
ｘ＋１
＝－─────────────── ……（答）
（ｘ2 ＋２ｘ）\(\sqrt{\quad}\)（ｘ2 ＋２ｘ）
武田先生、失礼します。
質問＜354＞では合成関数の微分について教えてくださいましてありがと
うございました。また合成関数の微分についてなのですけど、つまるところ、
合成関数の微分は、以下のような手順でやればいいのですか？
① ｄｙ／ｄｘの、式ｙを文字ｔに置き換えて、それをｔで微分
② ｔをｘで微分
③ ①と②を掛け合わせる
④ 適当なところまで計算してまとめたら、ｔをｙに戻す
たとえば、質問＜354＞で教えていただいたのと同じ問題でいうと、
ｙ＝1／\(\sqrt{\quad}\)(ｘ[2乗]＋2ｘ)を合成関数の微分でやると、
① \(\sqrt{\quad}\)の中をｔと置いて、それをｔで微分
② ｔとしたｘ[2乗]＋2ｘをｘで微分
③ ①と②を掛け合わせる
④ 適当なところまで計算してまとめ、－(ｘ＋1／ｔ\(\sqrt{\quad}\)ｔ)のｔを
元に戻して、
(ｘ＋1)／｛(ｘ[2乗]＋2ｘ)\(\sqrt{\quad}\)(ｘ[2乗]＋2ｘ)｝・・・・・答え
でいいのですか？
また、この問題のように式ｙが分数の形をしていても、ふつうの形をしていても、
通常、同じようにやってしまっていいのですか？
合成関数の微分の手順は、それで良いと思いますが、そうなる理由も覚
えておいてください。
つまり、合成関数ｙ＝ｆ｛ｇ（ｘ）｝のとき
^^^^^^^^^^^^^^
↑これは分数の形でも普通の形でも良い。
ｇ（ｘ）＝ｔとおくと、ｙ＝ｆ（ｔ）となるので、
^^^^^^^
↑ｔで置き換える
ｄｙ ｄｙ ｄｔ ｄｆ ｄｇ
──＝──・──＝──・──＝ｆ′（ｔ）・ｇ′（ｘ）
ｄｘ ｄｔ ｄｘ ｄｔ ｄｘ ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^
↑ ↑ ↑ｔをｘで微分
｜ ｔで微分
｜
積
＝ｆ′｛ｇ（ｘ）｝・ｇ′（ｘ）
^^^^^^^^^^^^^^^
↑ｔを戻す
どうでしょうか？手順はこれらのことからできているのです。