\( 108 = 2^2 \times 3^3 \)より
\( \sqrt[3]{108} = 3\sqrt[3]{4} \)
よって \( \sqrt[3]{4} \) すなわち4の3乗根が有理数か無理数か調べればよい。

背理法で証明する。\( \sqrt[3]{4} \) が有理数であると仮定し、
\( \sqrt[3]{4} = \frac{n}{m} \) とおく。
(ただし、\( m, n \)は整数、\( m \neq 0 \)、\( \frac{n}{m} \)は既約分数であるとする。)

両辺を3乗すると
\( n^3 = 4m^3 \dots ① \) となるから、
\( n^3 \) は偶数であり、nは偶数である。
そこで、n=2k（kは整数）とおき、①に代入整理すると
\( m^3 = 2 k^3 \) であり、同様の議論でmは偶数である。
これは、\( \frac{n}{m} \) が既約であることに反する。
よって、\( \sqrt[3]{4} \) は無理数である。
すなわち、\( \sqrt[3]{108} \) は無理数である。