\(e^{x}\), e^(-x)は(-∞、∞)で明らかに連続関数であり、連続関数同士の＋－×÷も連続
関数より
f(x)=(\(e^{x}\)-e^-x)/2は(-∞、∞)で連続。また、f’(x)=(\(e^{x}\)+e^-x)/2≧1＞0より、狭
義単調増加関数。
\(e^{x}\)=tとおき、t>0に注意してy=(t+\(\frac{1}{t}\))/2をtについて解くと、t=y+\(\sqrt{\quad}\)(\(y^{2}\)-1)
すなわち、\(e^{x}\)=y+\(\sqrt{\quad}\)(\(y^{2}\)-1)の両辺の対数をとれば、
x=log{y+\(\sqrt{\quad}\)(\(y^{2}\)-1)}であるから、f(x)の逆関数はx,yをいれかえて
y=log{x+\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)-1)}