いつもお世話になっております。
以下の問題に解答した所、「A∩B＝φを証明せよ。」と指摘されました。
どのように証明すれば良いのか教えて頂けないでしょうか。

≪ 問題≫
離散型確率変数X, Yの分布はP (X =xi)=pi(i=1, 2 ),P (Y=yi)= qj(j=1, 2) である。
P(X =xi, Y=yj) =rij (i,j=1, 2) とするとき,
ri1+ri2 = pi(i=1, 2)および
r1j+r2j = qj(j=1, 2)が成立することを、
確率の公理（A∩B＝φならばP（A∪B）＝P(A)＋P(B)）を用いて示せ。

（解答）
ri1+ri2 = P(X=xi,Y=y1)+P(X=xi,Y=y2)= P((X=xi)∩(X=y2))+P((X=xi)∩(X=y2))となるが、
A=(X=xi)∩(X=y2)、B=(X=xi)∩(X=y2)とすると、A∩B＝φであるから、
確率の公理P(A)+P(B)=P(A∪B)より、ri1+ri2 = P((X=xi)∩(X=y2))+P((X=xi)∩(X=y2))
　　　 = P({X=xi,Y=y1}∪{X=xi,Y=y2})
= P(X=xi)
= pi
同様に、
r1j+r2j= P(X=x1,Y=yj)+P(X=x2,Y=yj)
= P({X=x1,Y=yj}∪{X=x2,Y=yj})
= P(Y=yj)
= qj

★希望★完全解答★