［１］aは実数とする。連立方程式
ax＋(a-1)y=1........①
(a＋1)x＋ay=3.......②
を解け。
［２］実数x,yが
-1≦x+y≦1、-1≦x-y≦5
を満たすとき、z=3x+yのとりうる値の範囲を求めよ。
［３］a＜0,b＜0,c＜0,a+b+c=1のとき、
a3+b3+c3の最小値を求めよ。
（a3はaの三乗のこと）
［４］任意の実数aに対して、２つの曲線
y=ax2-2x+2a+n+1
y=x2-4ax-a+2n-1
が常に共有点を持つときの整数nの個数を求めよ。
（ax2はaxの二乗のこと）
［５］実数x,yがx2+y2≦8を満たすとき、
X=x+y,Y=x2+y2-8
とするとき、点（X,Y）の存在する領域の面積を
求めよ。
（x2はxの二乗のこと）
問１
ax＋(a-1)y=1........①
(a＋1)x＋ay=3.......②
①×ａ－②×（ａ－１）より
｛ａ2 －（ａ2 －１）｝ｘ＝ａ－３（ａ－１）
∴ｘ＝－２ａ＋３……③
③を①に代入して、
ａ（－２ａ＋３）＋（ａ－１）ｙ＝１
（ａ－１）ｙ＝２ａ2 －３ａ＋１
＝（ａ－１）（２ａ－１）
ａ≠１のとき、ｙ＝２ａ－１
したがって、
ａ≠１のとき、
｛ｘ＝－２ａ＋３
｛ｙ＝２ａ－１ ……（答）
問２
ｚ＝３ｘ＋ｙにおいて、
Ａ（－１，０）を通るとき、最小値をとるから
ｚ＝－３
Ｂ（３，－２）を通るとき、最大値をとるから
ｚ＝９－２＝７
したがって、
－３≦ｚ≦７ ……（答）
問３
ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０なのに、ａ＋ｂ＋ｃ＝１とは変ですね。
不等号のどれかは間違っていませんか？
ａ3 ＋ｂ3 ＋ｃ3 －３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 －ａｂ－ｂｃ－ｃａ）
１
＝─（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ－ｂ）2 ＋（ｂ－ｃ）2 ＋（ｃ－ａ）2 ｝
２
（ａ＋ｂ＋ｃ）＞０，（ａ－ｂ）2 ≧０，（ｂ－ｃ）2 ≧０，（ｃ－ａ）2 ≧０より、
ａ3 ＋ｂ3 ＋ｃ3 －３ａｂｃ≧０
ａ3 ＋ｂ3 ＋ｃ3 ≧３ａｂｃ
したがって、
最小値は３ａｂｃ（ａ＝ｂ＝ｃのとき）……（答）
問４
｛ｙ＝ａｘ2 －２ｘ＋（２ａ＋ｎ＋１）
｛ｙ＝ｘ2 －４ａｘ＋（－ａ＋２ｎ－１）
が共有点を持つのは、連立した解があることだから
（ａ－１）ｘ2 ＋（４ａ－２）ｘ＋（－３ａ＋ｎ－２）＝０……①
①の判別式Ｄ／４≧０より、
（２ａ－１）2 －（ａ－１）（－３ａ＋ｎ－２）≧０
７ａ2 －（５＋ｎ）ａ＋（ｎ－１）≧０……②
②の不等式が、すべての実数ａに対して成り立つためには
②の判別式Ｄ≦０だから、
（５＋ｎ）2 －４・７・（ｎ－１）≦０
ｎ2 －１８ｎ＋５３≦０
ｎ＝９\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)７より、
９－２\(\sqrt{\quad}\)７≦ｎ≦９＋２\(\sqrt{\quad}\)７
３．７２……≦ｎ≦１４．２８……
整数で考えると、
４≦ｎ≦１４
個数は１４－４＋１＝１１個……（答）
問５
｛ｘ2 ＋ｙ2 ≦８……①
｛Ｘ＝ｘ＋ｙ……②
｛Ｙ＝ｘ2 ＋ｙ2 －８……③
②を変形して、ｙ＝Ｘ－ｘ
これを③に代入して、
Ｙ＝ｘ2 ＋（Ｘ－ｘ）2 －８＝２ｘ2 －２Ｘｘ＋Ｘ2 －８
２ｘ2 －２Ｘｘ＋（Ｘ2 －８－Ｙ）＝０
解の公式より、
Ｘ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)｛Ｘ2 －２（Ｘ2 －８－Ｙ）｝
ｘ＝─────────────────
２
Ｘ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（－Ｘ2 ＋２Ｙ＋１６）
＝────────────── ……④
２
実数ｘより、\(\sqrt{\quad}\)の中は≧０となるから
－Ｘ2 ＋２Ｙ＋１６≧０
１
Ｙ≧─Ｘ2 －８……⑤
２
ｙ＝Ｘ－ｘに④を代入して
Ｘ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（－Ｘ2 ＋２Ｙ＋１６）
ｙ＝Ｘ－────────────── ……⑥
２
④と⑥を①に代入して計算すると、Ｙ≦０……⑦
⑤と⑦より、
面積は定積分で求めると、
4 １
Ｓ＝－∫ （──Ｘ2 －８）ｄＸ
-4 ２
Ｘ3 4 ６４ ６４
＝－［ ─ －８Ｘ］ ＝－（───－３２）＋（－───＋３２）
６ -4 ６ ６
１２８ －１２８＋３８４ ２５６ １２８
＝－───＋６４＝────────＝───＝─── ……（答）
６ ６ ６ ３