質問

     a,b∈Rにたいして，a・b＝log(10^a+10^b)と定義する。
ｘ・ｘ＝a のとき，ｘを√aと定めるとき，不等式
√a・b≧a+b/2 を示せ。(左辺の√はa・b全体にかかります。)
いつもお世話になっています。
以上の問題を教えて下さい。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／１２／２８
from=平　昭

　こんにちは。
問題文の意味がちょっと分かりにくいですね。
記号「・」は普通、かけ算や内積を意味しますから、
別の意味に使うと混乱のもとです。√も同様です。
　そこで、別の記号を使って問題文を書き換えてみました。
多分、以下のような趣旨なのだろうと思います。
対数の底は10と仮定しています。
なお「a+b/2」は(a+b)/2の間違いでしょうか。

　 a,b∈Rに対し、２項演算*を
　a*b＝log(10^a+10^b)で定義する。
またa∈Rに対し、ｘ*ｘ＝a を満たすxを
　ｘ＝★√a
と定める。このとき、不等式　
　★√(a*b)≧(a+b)/2
を示せ。

　さて、解答は以下の通りです。

＊の定義より計算すると

ｘ*ｘ=log(10^x+10^x)
     =log（２・10^x)
　　 =log(10^x)+log2
　　 =x+log2

だから★√a=a-log2 である。
すると、示すべき不等式は
　★√(a*b)
＝log(10^a+10^b)－log2
＝log(10^a+10^b)/2≧(a+b)/2

　一方、10^a＞０　かつ10^b＞０より
相加平均≧相乗平均から
(10^a+10^b)/2≧√（10^a・10^b）
が成り立つ。

ここで両辺の常用対数を取れば、
示すべき不等式が得られる。

　証明終わり。

　議論の中で、通常のかけ算記号もルートもでてきます。
やはり、題意の演算記号は書き換えたほうがわかりやすいですね。