こんばんは。
　これは考え方が二つあります。
一つは地道に計算する方法です。
もう一つは、ほとんど計算不要ですが、
ちょっと知識が必要です。大学生なら知っている知識ではないでしょうか。

　まずは地道なやり方から。
　
２ⅹ^2＋２ⅹｙ＋ｙ^2＝１をy について解くと

y=-x\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（1-\(x^{2}\)）
となり、yが実数として存在するxの範囲は-1≦x≦1

題意の曲線は-1≦x≦1の範囲で
上側の曲線　y=-x+\(\sqrt{\quad}\)（1-\(x^{2}\)）　と
下側の曲線　y=-x-\(\sqrt{\quad}\)（1-\(x^{2}\)）に囲まれた閉曲線となる。
（グラフを描いてみれば分かる。）

だから求める面積をＳとおけば

Ｓ=∫_-\(1^{1}\) ｛(-x+\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\)))-(-x-\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\)))｝dx

=2∫_-\(1^{1}\)(\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\))dx

これは積分計算するまでもなく、半径１の半円の面積の２倍。
よって
　Ｓ=π

　次に、計算省略型の解法です。

２ⅹ^2＋２ⅹｙ＋ｙ^2＝１を変形して
\(x^{2}\)+(x+y\()^{2}\)=1
ここで

f(x)=（1 0)(x)=(X)
(y) (1 1)(y) (Y)

という一次変換を用いて、題意の曲線を変換する。
（どうも行列表示が読みにくいので念のため書くと、
X=x Y=x+y という変換です。）
すると明らかに
\(X^{2}\)+\(Y^{2}\)=1 で、変換後の図形は単位円である。

　そして、一般に２行２列の行列Ａによる一次変換によって、
変換後の図形の面積は変換前の面積の|detＡ| 倍となる。
ここで、detＡはＡの行列式を意味する。、、、、★

(★を知らないと、この解法が使えません。
知っていれば、題意の曲線の式が、一次変換で円になるのはすぐ分かりますから、
変換してみて後は行列式で割る、というのを思いつくでしょう。）

　そして、fの変換行列の行列式は１だから、変換前後で面積は変わらない。
よって、求める面積をＳとおけば
　Ｓ=π