X,Y,Z,Wの4種の文字をXも連続せず、Yも連続せず、Zも連続しないが、
Wは連続しても構わないという制限の下で、ｎ個を1列に並べる場合の
総数Sｎについて次の問に答えよ。
問１．S2を求めよ。
問２．S3を求めよ。
問３．S5を求めよ。
以上よろしくお願いします
静岡県 教員 原田佳彦
X,Y,Z,Wの4種の文字をXも連続せず、Yも連続せず、Zも連続しないが、
Wは連続しても構わないという制限の下で、ｎ個を1列に並べる場合の
総数Sｎについて次の問に答えよ。
問１．S2を求めよ。
問２．S3を求めよ。
問３．S5を求めよ。
以上よろしくお願いします
静岡県 教員 原田佳彦
一部ミスがありました。訂正を赤字でしてあります。
問１
ｘｙｚ ｗ ①②
１ １ ０ ★☆ 3 Ｐ2 ＝３・２＝６通り
１ １ ★ｗ 3 Ｃ1 ・2 Ｐ2 ＝３・１・２・１＝６通り
０ ２ ｗｗ １通り
したがって、
Ｓ2 ＝６＋６＋１＝１３通り ……（答）
問２
ｘ ｙ ｚ ｗ ①②③
２ １ ０ ★☆★ 3 Ｐ2 ＝３・２＝６通り
１ １ １ ０ ★☆▲ 3 Ｐ3 ＝３・２・１＝６通り
２ １ ★ｗ★ 3 Ｃ1 ＝３通り
１ １ １ ★☆ｗ 3 Ｃ2 ・3 Ｐ3 ＝３・３・２・１＝１８通り
１ ２ ★ｗｗ 3 Ｃ1 ・３！／（１！・２！）＝３×３＝９通り
０ ３ ｗｗｗ １通り
したがって、
Ｓ3 ＝６＋６＋３＋１８＋９＋１＝４３通り ……（答）
問３
ｘ ｙ ｚ ｗ ①②③④⑤
２ ３ ０ ★☆★☆★ 3 Ｐ2 ＝６通り
１ １ ３ ０ ★☆★▲★ 3 Ｃ1 ・2 Ｐ2 ＝６通り
２ ２ １ ０ ★☆★☆▲ 3 Ｃ2 ・｛５！／（２！２！１！）－２・４！／（２！１！１！）＋３！｝＝３６通り
１ ３ １ ★☆★ｗ★ 3 Ｃ1 ・2 Ｃ1 ・2 Ｐ2 ＝３・２・２・１＝１２通り
２ ２ １ ★☆★☆ｗ 3 Ｃ2 ・｛５！／（２！２！１！）－２・４！／（２！１！１！）＋３！｝＝３６通り
２ １ １ １ ★☆★▲ｗ 3 Ｃ1 ・｛５！／（２！１！１！１！）－４！｝＝１０８通り
３ ２ ★ｗ★ｗ★ 3 Ｃ1 ＝３通り
２ １ ２ ★☆★ｗｗ 3 Ｐ2 ・｛５！／（２！１！２！）－４！／（２！１！１！）｝＝１０８通り
１ １ １ ２ ★☆▲ｗｗ ５！／（２！１！１！１！）＝６０通り
２ ３ ★ｗ★ｗｗ 3 Ｃ1 ｛５！／（３！２！）－４！／（３！１！）｝＝１８通り
１ １ ３ ★☆ｗｗｗ 3 Ｃ2 ・５！／（３！１！１！）＝６０通り
１ ４ ★ｗｗｗｗ 3 Ｃ1 ・５！／（４！１！）＝１５通り
０ ５ ｗｗｗｗｗ １通り
したがって、
Ｓ5 ＝６＋６＋３６＋１２＋３６＋１０８＋３＋１０８＋６０＋１８＋６０＋１５＋１
＝４６９通り ……（答）
※下の関谷さんの解答と比べて、一部ミスを発見しました。
（素晴らしいアイデアの解答が寄せられました。感謝感激！！ 武田）
武田先生こんにちは
今日先生のＨＰをみていたら、質問３６８が私のところにも来ていた問題でした。
私のほうの結果と違っているので、答えを吟味していただけたら幸いです。以下その
答案です。
Ｓ２やＳ３だけなら、がんばって数えていけば何とかなりますが、
Ｓ５あたりでは、少々厳しくなってきます。
そこで、この列の性質を分析して、もっと良い方法を見つけたいのです。
考えられる方法の１つに漸化式があります。
これは、ＳｎからＳｎ＋１を導く式を作るというものです。
ｎ＋１個並んだ列を考えます。
その列のはじめからｎ個を取った列も、問題の条件を満たしていることは明らかで
す。
そこで、ｎ個の列を１つ取ったときに、その後ろに加えられる文字が何通りあるかを
調べれば、
Ｓｎ＋１が分かります。
この後ろに来る文字の場合の数は、はじめのｎ個の文字の列の最後の文字がＷか、
それ以外かによって異なります。
最後にＷが来た場合・・・次の文字はＸ，Ｙ，Ｚ，Ｗの４通り
最後にＷ以外（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が来た場合・・・・次の文字は最後の文字と異なる文字
３通り
そこで、Ｓｎを次の２つの場合に分けて考えると良いでしょう。
Ｐｎ ・・・ 最後にＷが並ぶ、ｎ個の文字の列の総数
Ｑｎ ・・・ 最後にＷ以外の文字（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が並ぶ、ｎ個の文字の列の総数
もちろん、Ｓｎ＝Ｐｎ＋Ｑｎになります。
ｎ個の列の最後にＷがあって、その次に、Ｗが加わる場合 ・・・・・・・ １通り
ｎ個の列の最後にＷがあって、その次に、Ｘ，Ｙ，Ｚが加わる場合 ・・・ ３通り
ｎ個の列の最後にＷ以外があって、その次に、Ｗが加わる場合 ・・・ １通り
ｎ個の列の最後にＷ以外があって、その次に、Ｘ，Ｙ，Ｚが加わる場合 ・・・ ２
通り
これは、最後に来る文字と同一の文字は加えられないので、最後に来る各文字に対
して２通りずつあります。
以上の４つの場合から考えて、
Ｐｎ＋１＝Ｐｎ＋Ｑｎ
Ｑｎ＋１＝３Ｐｎ＋２Ｑｎ ・・・・・・・・［１］
では、［１］の漸化式を使って、答えを出してみましょう。
Ｐ１＝１
Ｑ１＝３
です。
Ｐ２＝Ｐ１＋Ｑ１＝１＋３＝４
Ｑ２＝３Ｐ１＋２Ｑ１＝３＋２×３＝９
Ｐ３＝Ｐ２＋Ｑ２＝４＋９＝１３
Ｑ３＝３Ｐ２＋２Ｑ２＝１２＋１８＝３０
Ｐ４＝Ｐ３＋Ｑ３＝１３＋３０＝４３
Ｑ４＝３Ｐ３＋２Ｑ３＝３９＋６０＝９９
Ｐ５＝Ｐ４＋Ｑ４＝１４２
Ｑ５＝３Ｐ４＋２Ｑ４＝１２９＋１９８＝３２７
これより、
｛Ｓ２＝４＋９＝１３
（答）｛Ｓ３＝１３＋３０＝４３
｛Ｓ５＝１４２＋３２７＝４６９