\(x^{2}\) をで割ると x-1 余り， (x+1\()^{2}\) で割ると x 余る整式のうちで，
次数が最も低い整式は【 ア 】次式で，この整式の最高次の係数は【 イ 】，
x の係数は【 ウ 】，定数項は【 エ 】である。
あてはまる答えは
【 ア 】＝3
【 イ 】＝2
【 ウ 】＝1
【 エ 】＝-1
です。
“次数が最も低い”という感覚はつかめても決定的な理由が思い当たりません。
また，整式をP(x)としてもP(0)＝-1より定数項しか見つかりません。
剰余の定理の応用の仕方をお教下さい。
★希望★完全解答★
求める式を Ｐ（ｘ） と置くと，
Ｐ（ｘ） ＝ ｘ＾２ Ｑ＿１（ｘ） ＋ ｘ － １
＝ （ｘ ＋ １）＾２ Ｑ＿２（ｘ） ＋ ｘ
と置くことが出来る。
従って
ｘ＾２ Ｑ＿１（ｘ） － １ ＝ （ｘ ＋ １）＾２ Ｑ＿２（ｘ）．
Ｑ＿１， Ｑ＿２ が定数だとすると，
（共に ０ のときは定数項が一致しないので， ０ でないとすると）
左辺は ｘ の一次の項がなく， 右辺にはあるので， 矛盾。
従って， Ｑ＿１， Ｑ＿２ は少なくとも一次式である。
今， Ｑ＿１（ｘ） ＝ ａｘ ＋ ｂ， Ｑ＿２（ｘ） ＝ ｃｘ ＋ ｄ と置く。
代入して
ｘ＾２（ａｘ ＋ ｂ） － １ ＝ （ｘ ＋ １）＾２（ｃｘ ＋ ｄ）
ａｘ＾３ ＋ ｂｘ＾２ － １ ＝ ｃｘ＾３ ＋ （２ｃ ＋ ｄ）ｘ＾２ ＋ （ｃ ＋ ２ｄ）ｘ ＋ ｄ
従って
ａ ＝ ｃ，
ｂ ＝ ２ｃ ＋ ｄ，
ｃ ＋ ２ｄ ＝ ０，
ｄ ＝ －１．
これは解けて， ａ ＝ ｃ ＝ ２， ｂ ＝ ３， ｄ ＝ －１ となる。
このとき Ｐ（ｘ） ＝ ２ｘ＾３ ＋ ３ｘ＾２ ＋ ｘ － １ となって， 題意を満たす。
（以下略）
そういうわけなので， 別に剰余の定理の問題ではありません。
言ってみれば除法定理の問題です。