こんにちは。ちょっと力押しですが、解をa,bで表して、
その絶対値が１以下である事を示す方針で行きます。
なお、この回答限定で、「←→」を、同値を意味する記号として使います。

　　「｜ａ｜＋｜ｂ｜＜１」
←→「-1＜ａ＋ｂ＜１　かつ　-１＜ａ－ｂ＜1 」
である。（これは、グラフを描いてみれば分かる。）
だから結局、

「-1＜ａ＋ｂ＜１かつ-１＜ａ－ｂ＜1 」かつ「\(a^{2}\)－4b≧０」
ならば
「-1＜{-ａ＋\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)－4b)}/2＜１ かつ-1＜{-ａ－\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)－4b)}/2＜１」
を示せばよい。
　ここで、ｆ(ｘ)＝０の２解の大小関係を考えれば、示すべき不等式は、
-2＜-ａ-\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)－4b)と-ａ＋\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)－4b)＜2である

　そして
　　-2＜-ａ-\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)－4b)
←→\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)－4b)＜2－ａ
←\(\vec{a}\\()^{2}\)－4b＜(2－ａ\()^{2}\) (｜ａ｜＜１ですから、2-a＞０です）
←\(\vec{a}\)-b＜1 　これは与えられた条件である。
　また
　　-ａ＋\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)－4b)＜2
←→ａ＋ｂ＞-1　（計算は省略します）
　で、これも与えられた条件である。

証明終わり。