ええと、問題の書き方がはっきりしませんが、たぶん
ｔａｎ ｛（ａ＋ｂ）／２｝≦（ｔａｎ ａ＋ｔａｎ ｂ）／２
（０≦ａ，ｂ＜π／２）
を証明せよという問題ですよね。こうだと思って説明をします。

簡単に言うとこれは、ｙ＝ｔａｎ（ｘ）のグラフが
「下に凸」ということです。だから、うんと略解にすれば

「ｔａｎ（ｘ）の２階微分＞０（０＜ｘ＜π／２）で、
グラフは下に凸であるから成り立つ」
というのもありでしょう。

ていねいに書くと次のような回答もできます。

ａ＝ｂだと題意の式の左辺と右辺は等しくなって、
題意の成立は自明です。ａ＜ｂのときを考えます。

まず、点（ａ，ｔａｎ（ａ））と（ｂ，ｔａｎ（ｂ））を通る直線を考えて
ｆ（ｘ）を
ｆ（ｘ）＝ｔａｎ（ａ） ＋ （ｘ－ａ）（ｔａｎ（ｂ）－ｔａｎ（ａ））／（ｂ－ａ）と定義します。

次にＦ（ｘ）を　Ｆ（ｘ）＝ｔａｎ（ｘ）－ｆ（ｘ）と定義します。
Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０ですね。

さて、区間ａ≦ｘ≦ｂでのＦの挙動を考えます。

Ｆ'（ｘ）＝ｔａｎ'（ｘ）－（ｔａｎ（ｂ）－ｔａｎ（ａ））／（ｂ－ａ）です。
ここで、

「Ｆ'（ｘ）の微分＝ｔａｎ（ｘ）の２階微分＞０（０＜ｘ＜π／２）」
（計算は省略します。）ですから、

Ｆ'（ｘ）は単調増加です。
さらに、平均値の定理より、ａ＜ｃ＜ｂであるｃに対して
ｔａｎ'（ｃ）＝＋（ｔａｎ（ｂ）－ｔａｎ（ａ））／（ｂ－ａ）となります。
つまり　Ｆ'（ｃ）＝０です。

ということで結局、

Ｆ'（ｘ）＜０（０＜ｘ＜ｃ） Ｆ'（ｃ）＝０ Ｆ'（ｘ）＞０（ｃ＜ｘ＜ｂ）となり

Ｆ（ｘ）はａ＜ｘ＜ｃで減少、ｃ＜ｘ＜ｂで増加です。

これとＦ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０を考え合わせれば、
Ｆ（ｘ）＜０（ａ＜ｘ＜ｂ） 　がわかります。

そして、この特別な場合として
Ｆ（（ａ＋ｂ／２））＝ｔａｎ ｛（ａ＋ｂ）／２｝－（ｔａｎ ａ＋ｔａｎ ｂ）／２＜０

つまり　ｔａｎ ｛（ａ＋ｂ）／２｝＜（ｔａｎ ａ＋ｔａｎ ｂ）／２　となります。