こんにちは。うまい一般論があるのかどうかわかりませんが、グラフを描いてみると、
方針がみえてきました。
　題意の方程式が「放物線」と書いてあるのが大事なヒントです。以下、解答です。

　題意の方程式を(x＋y)＝(x－y\()^{2}\)＋1　と書き直し、グラフを描いて考える。
　方程式: x-y＝k (kは任意の実数）で表される直線群を考えると、
この式で表される直線はすべて互いに平行である。
　同様に、方程式: x＋y＝k (kは任意の実数）で表される直線群を考えると、
この式で表される直線もすべて互いに平行である。
　そして直線:x＋y＝kと 直線:x-y＝kは直交する。
　そこで、直線群｛kは任意の実数｜直線:x＋y＝k｝
と直線群｛kは任意の実数｜直線:x－y＝k｝は、
直線x－y＝０と直線x＋y＝０を二つの軸として、直交座標系をなすとみなせる。
　さらに、直線:x＋y＝kと直線 x＋y＝k＋１の距離、及び
直線:x-y＝kと　直線 x-y＝k＋１の距離がいずれも\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{1}\)であることを考え合わせれば、


　式(x＋y)＝(x－y\()^{2}\)＋1が表す放物線とはつまり、
放物線：ｙ＝\(x^{2}\)＋１を時計回りに45度回転し、全体を\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{1}\)に縮小したものである。
（ここまで細かく言わなくとも、実際にグラフを描けばすぐ分かりますが。(^_^;)）

　だから「放物線Ｃ：ｙ＝\(x^{2}\)＋１の直交する二接線の交点の軌跡」をまず求め、
結果を時計回りに45度回転して\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{1}\)に縮小すれば、求める答えが得られる。

（どうも、こうやって工夫すると計算が楽なようです。）

　さて、Ｃ上の点（a,\(a^{2}\)+1)における接線の方程式は
y=2ax-\(a^{2}\)+1 である。
ここで、ａ＝０の場合には、接線は直線：y=1で、
これと直交する接線は明らかに存在しない。

　そこで、aが０でない時を考えると、
これと直交する接線は、傾きが-\(\frac{1}{2}\)aであるから、

接点は（-\(\frac{1}{4}\)a，1+(\(\frac{1}{16}\)\(a^{2}\))）となり、
求める接線の方程式は　
ｙ＝(-\(\frac{1}{2}\)a）x-(\(\frac{1}{16}\)\(a^{2}\))+1　である。

ここで、両辺を4\(a^{2}\)倍して
(4\(a^{2}\))y=-2ax-(\(\frac{1}{4}\))+4\(a^{2}\)
最初の接線の方程式と辺々足せば
(1+4\(a^{2}\))y=(\(\frac{3}{4}\))+(3\(a^{2}\))=\(\frac{3}{4}\)｛1+4\(a^{2}\)｝が得られる。

以下、計算すれば結局、
２接線の交点は、点（(\(\frac{a}{2}\))-\(\frac{1}{8}\)a，\(\frac{3}{4}\)）となる。

ここで、f(a)=(\(\frac{a}{2}\))-\(\frac{1}{8}\)aと置くと
ｆはａ＞０（とa＜０）で連続であり、
a→+0の時f(a)→負の無限大、ａ→無限大の時f(a)→無限大
であるから、f(a)は任意の実数値をとる。

よって、交点の軌跡は、直線y=\(\frac{3}{4}\)　である。

これを時計回りに45度回転し、\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{1}\)に縮小することにより、
求める軌跡は、

　直線：x+y=\(\frac{3}{4}\)　である。