こんにちは。ええと、連続の定義は分かっていますか？
　f(x)がｘ＝ａで連続であるとは
「ｘ→ａの時、f(x)\(\vec{f}\)(a)　であること」でした。
これは「ｈ→０の時f(a+h)\(\vec{f}\)(a)」、、、、★
とも書けますね。
こちらの方が問題文に出てくる式に近そうなので、
任意のａに対して★が成り立つことを示す方針にします。
以下、解答です。

与えられた条件より、任意のａ、ｈに対して

f(a+h)＝f(a)＋f(ｈ)　　

また、条件「ｆがｘ＝０で連続である」はつまり
ｈ→０の時、f(ｈ)\(\vec{f}\)(0)　　　　　　を意味する。

よってｈ→０の時、f(a+h)\(\vec{f}\)(a)＋f(０)である。

ここで、条件「f(x+y)=f(x)+f(y)」に、ｘ＝ｙ＝０を代入すれば
f(０)＝２f(０)となり、f(０)＝０が分かる。
結局、

任意のａに対し、ｈ→０の時、f(a+h)\(\vec{f}\)(a)＋f(０)＝f(ａ)
（証明終）

ご無沙汰しておりました
なかなか参加できない情況が続いております。

ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）より
ｆ（０＋０）＝ｆ（０）＋ｆ（０）
ｆ（０）＝２ｆ（０）となって
ｆ（０）＝０

ｆ（ｘ）がｘ＝０で連続だから
ｌｉｍ(x→0)ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＝０・・・①
この条件のもとで
任意の実数ａに対して
ｌｉｍ(x\(\vec{a}\))ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）となれば良い訳です。
ｔ＝ｘ－ａとすると
ｘ＝ｔ＋ａ
ｘ→ａのときｔ→０
従って
ｌｉｍ（ｔ→０）ｆ（ｔ＋ａ）
＝ｌｉｍ（ｔ→０）｛ｆ（ｔ）＋ｆ（ａ）｝
＝ｌｉｍ（ｔ→０）ｆ（ｔ）＋ｌｉｍ（ｔ→０）ｆ（ａ）
①より
ｌｉｍ（ｔ→０）ｆ（ｔ）＝ｆ（０）＝０
また
ｌｉｍ（ｔ→０）ｆ（ａ）＝ｆ（ａ）（※ｆ（ａ）は定数なので、ｔの値に影響されない）
よって
ｌｉｍ(x\(\vec{a}\))ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）となり
ｆは任意の実数において連続であることが示されました。