\(D^{2}\) - 2D + 1 = 0
と置くと
D = 1 (重解) なので
斉次解は y = (\(C_{1}\) x + \(C_{2}\))\(e^{x}\).

よって y = (\(C_{1}\) x + \(C_{2}\))\(e^{x}\) + a\(x^{2}\) + bx + c + de^(3x) と置くと
y'' - 2y' + y = a\(x^{2}\) + (b - 4a)x + (2a - 2b + c) + 4de^(3x)
元の式と比較して a = 1, b = 4, c = 6, d = \(\frac{1}{2}\) を得る。
従って,
y = (\(C_{1}\) x + \(C_{2}\))\(e^{x}\) + \(x^{2}\) + 4x + 6 + (\(\frac{1}{2}\))e^(3x).

尚, 演算子法の公式を用いれば直ちに解が出るのだが,
適当な web page がなかったので省略する。