問１

微分して、ｆ′（ｘ）＝２ｘ－２ｐ
点Ｐ（ｔ，ｔ² －２ｐｔ）における接線の方程式は
ｙ－（ｔ² －２ｐｔ）＝（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）
この接線をｙ軸方向にｂだけ平行移動すると、直線Ｌ（ｔ，ｂ）ができます。
この方程式は
ｙ＝（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）＋（ｔ² －２ｐｔ）＋ｂ……（答）

問２
上の直線Ｌ（ｔ、ｂ）と放物線ｙ＝ｘ² －２ｐｘとの交点が２つあるのは、
連立して
｛ｙ＝（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）＋（ｔ² －２ｐｔ）＋ｂ……①
｛ｙ＝ｘ² －２ｐｘ……②
（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）＋（ｔ² －２ｐｔ）＋ｂ＝ｘ² －２ｐｘ
ｘ² －２ｔｘ＋ｔ² －ｂ＝０
判別式Ｄ／４＞０より、
（－ｔ）² －（ｔ² －ｂ）＞０∴ｂ＞０……（答）

問３方程式ｘ² －２ｔｘ＋ｔ² －ｂ＝０を解く。
∴ｘ＝ｔ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)ｂ
したがって、
　　ｔ＋\(\sqrt{\quad}\)ｂ
Ｓ＝∫　　｛－（ｘ² －２ｔｘ＋ｔ² －ｂ）｝ｄｘ
　　ｔ－\(\sqrt{\quad}\)ｂ

　　　　ｘ³ 　　　　　　　　　　　　ｔ＋\(\sqrt{\quad}\)ｂ
　＝［－─　＋ｔｘ² －（ｔ² －ｂ）ｘ］
　　　　３　　　　　　　　　　　　　ｔ－\(\sqrt{\quad}\)ｂ

　　　　　　４
　＝（略）＝─ｂ\(\sqrt{\quad}\)ｂ　……（答）
　　　　　　３

問４
４　　　　　　ｔ＋\(\sqrt{\quad}\)ｂ
─ｂ\(\sqrt{\quad}\)ｂ＝２・∫　｛－（ｘ² －２ｔｘ＋ｔ² －ｂ）｝ｄｘ
３　　　　　　ｕ

（途中略）

ｕ³ －３ｔｕ² －３（ｔ² －ｂ）ｕ＋（５ｔ³ ＋６\(\sqrt{\quad}\)ｂｔ² －３ｂｔ－６ｂ\(\sqrt{\quad}\)ｂ）＝０
このｕについての３次方程式は解けるのかな？
ｕ＝λ＋ｔとおくと、
（途中略）
λ³ －（６ｔ² －３ｂ）λ＋（６ｔ² \(\sqrt{\quad}\)ｂ－６ｂ\(\sqrt{\quad}\)ｂ）＝０
さて、これ以上は解けない。λが出れば、ｕも出るのだが……？！

※質問された本人より、下記に解答が寄せられました。

2年10組12番です。解答がきましたのでお知らせしたいと思います。

（１）ｙ’＝２ｘ－２ｐであるから
L（ｔ、ｂ）：ｙ－（ｔ² －２ｐｔ）＝（２ｔ－２ｐ）（ｘ－ｔ）＋ｂ
すなわちｙ＝２（ｔ－ｐ）ｘ－ｔ² ＋ｂ　・・・（答）

（2）ｘ² －２ｐｔ＝２（ｔ－ｐ）ｘ－ｔ² ＋ｂとすると
　　　ｘ² －２tx＋ｔ² －ｂ＝０・・・・・・①
ｆ（ｘ）＝ｘ² －２ｔｘ＋ｔ² －ｂとおくと
　　　　ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｔ）² －ｂ
よって、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフについて、
ｆ（０）＞０，t＞０，－ｂ＜０であればよい。
ゆえに、ｔ＞０かつ０＜ｂ＜ｔ² ・・・（答）

（３）放物線と直線L（ｔ、ｂ）が異なる2点で交わるとき、
　　（２）からｆ（ｘ）＝－ｂ＜０
ゆえに　ｂ＞０　　　このとき
①の解はｘ＝ｔ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)ｂであるから
　　　　ｔ＋\(\sqrt{\quad}\)ｂ　　　　　　
Ｓ＝∫　　　　　｛２（ｔ－ｐ）ｘ－ｔ² ＋ｂ－（ｘ² －２ｐｔ）｝ｄｘ
　　　　ｔ－\(\sqrt{\quad}\)ｂ
　　　　　　　　　　　　　　　・　
　　　　　　　　　　　　　　　・　　
　　　　　　　　　　　　　　　・　　
　　　　　　　　　　　　　　　・
　＝　４ｂ\(\sqrt{\quad}\)ｂ／３　・・・（答）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ＋\(\sqrt{\quad}\)ｂ
（4）　（１）、（３）からＳ＝－∫　　　　　｛（ｘ－ｔ）² －ｂ｝ｄｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ－\(\sqrt{\quad}\)ｂ
放物線ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｔ）² －ｂは直線ｘ＝ｔ　に対称であるから、
　　　　　ｔ　　　　　　　　　　　　　　ｔ＋\(\sqrt{\quad}\)ｂ
　－∫　　　　　　ｆ（ｘ）ｄｘ＝－∫　　　　　　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｓ／２　　
　　　　　ｔ－\(\sqrt{\quad}\)ｂ　　　　　　　　　　ｔ
　よって、ｕ＝ｔ　・・・・（答）

（※最後の（４）は完全平方式にしてみればｘ＝ｔで面積が２分割され
　　ることが直ぐ分かるわけですね。(;＞_＜;)ビェェン、武田）