判別式も使いますが、基本的にgraphにより視覚的(直感的)な解法となります。
←graphの概形を描いて軸や切片の位置を考える事が重要

（問）y=x(2)+ax+a+8のグラフが次のようになる定数aの値を求めなさい。

１、y軸の正の部分と交わる⇔f(0)＞0⇔a+8＞0　(与式の左辺=f(x)とおきました)
∴a＞-8

２、x軸の正の部分と異なる2点で交わる
⇔D＞0 ∧ 軸＞0 ∧ f(0)>0 ⇔\(a^{2}\)-4(a+8)=(a-8)(a+4)＞0 ∧ -\(\frac{a}{2}\)＞0 ∧ a+8＞0
∴ -8＜a＜-4
あら答えとちゃう？？

３、x軸の正の部分、負の部分とそれぞれ1点で交わる⇔f(0)=a+8＜0
∴ a＜-8

４、x軸の負の部分と異なる2点で交わる⇔D＞0 ∧ 軸＜0 ∧ f(0)＞0
⇔\(a^{2}\)-4(a+8)=(a-8)(a+4)＞0 ∧ -\(\frac{a}{2}\)＜0 ∧ a+8＞0
∴ 0＜a＜8

ありゃりゃ、また答えとちゃう？？

ま、解き方はこんなもんです、私計算いい加減だから、ご自身で、確認してください