（４　－１）
問題の意図をつかみかねるが、取りあえずＡ＝（１　　０）として、
以下の問に答える。

問１
ｘ² －（４＋０）ｘ＋４・０－（－１）・１＝０
ｘ² －４ｘ＋１＝０の解を求め、それをα、βとおくと、
｛α＝２＋\(\sqrt{\quad}\)３
｛β＝２－\(\sqrt{\quad}\)３

ＡＸ＝αＸより、
（４　－１）（ｘ₁ ）＝（２＋\(\sqrt{\quad}\)３）・（ｘ₁ ）
（１　　０）（ｘ₂ ）　　　　　　　　（ｘ₂ ）

４ｘ₁ －ｘ₂ ＝（２＋\(\sqrt{\quad}\)３）ｘ₁
ｘ₁ ＝（２＋\(\sqrt{\quad}\)３）ｘ₂

したがって、
Ｘ＝（ｘ₁ ）＝（（２＋\(\sqrt{\quad}\)３）ｘ₂ ）＝（２＋\(\sqrt{\quad}\)３）ｘ₂
　　（ｘ₂ ）　（　　　　　　ｘ₂ ）　（　　１　）

両辺にｘ₂ ができるので、ｘ₂ で割ると、Ｘとして０でない

行列Ｘ＝（２＋\(\sqrt{\quad}\)３）ができる。｝
　　　　（　　１　）　　　　　｝
ＡＹ＝βＹも同様にやると、　　｝……（答）
行列Ｙ＝（２－\(\sqrt{\quad}\)３）　　　　　｝
　　　　（　　１　）　　　　　｝

問２
上のＸとＹを組み合わせて行列Ｂを作ると、
行列Ｂ＝（Ｘ　Ｙ）＝（２＋\(\sqrt{\quad}\)３　２－\(\sqrt{\quad}\)３）
　　　　　　　　　　（　　１　　　　１　）

逆行列Ｂ^-1を求めると、
ｄｅｔＢ＝（２＋\(\sqrt{\quad}\)３）・１－（２－\(\sqrt{\quad}\)３）・１＝２\(\sqrt{\quad}\)３

　　　　１　（　　１　　－２＋\(\sqrt{\quad}\)３）
Ｂ^-1＝───（　　　　　　　　　　）
　　　２\(\sqrt{\quad}\)３（　－１　　　２＋\(\sqrt{\quad}\)３）
したがって、
　　　　　　１　（　　１　　－２＋\(\sqrt{\quad}\)３）（４　－１）（２＋\(\sqrt{\quad}\)３　２－\(\sqrt{\quad}\)３）
Ｂ^-1ＡＢ＝───（　　　　　　　　　　）（　　　　）（　　　　　　　　　）
　　　　　２\(\sqrt{\quad}\)３（　－１　　　２＋\(\sqrt{\quad}\)３）（１　　０）（　　１　　　　１　）

　　　　　　１　（　　１　　－２＋\(\sqrt{\quad}\)３）（７＋４\(\sqrt{\quad}\)３　７－４\(\sqrt{\quad}\)３）
　　　　＝───（　　　　　　　　　　）（　　　　　　　　　　　）
　　　　　２\(\sqrt{\quad}\)３（　－１　　　２＋\(\sqrt{\quad}\)３）（　２＋\(\sqrt{\quad}\)３　　２－\(\sqrt{\quad}\)３）

　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３（６＋４\(\sqrt{\quad}\)３　　　　０　　）
　　　　＝──（　　　　　　　　　　　　）
　　　　　　６（　　０　　　－６＋４\(\sqrt{\quad}\)３）

　　　　　（２＋\(\sqrt{\quad}\)３　　　０　　）　（α　　０）
　　　　＝（　　　　　　　　　　）＝（　　　　）　……（答）
　　　　　（　　０　　　２－\(\sqrt{\quad}\)３）　（０　　β）

問３
（Ｂ^-1ＡＢ）ⁿ ＝（Ｂ^-1ＡＢ）（Ｂ^-1ＡＢ）（Ｂ^-1ＡＢ）……（Ｂ^-1ＡＢ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ番目
　　　　　　　＝Ｂ^-1Ａⁿ Ｂ

（Ｂ^-1ＡＢ）ⁿ ＝（α　　０）ⁿ ＝（αⁿ 　　０）
　　　　　　　　（０　　β）　　（０　　βⁿ ）

したがって、
Ａⁿ ＝Ｂ（αⁿ 　　０）Ｂ^-1
　　　　（０　　βⁿ ）

前に出てきた行列Ｂをα、βで表すと、
Ｂ＝（α　β）
　　（１　１）
よって、
　　　　１　（１　－β）
Ｂ^-1＝───（　　　　）
　　　α－β（－１　α）

したがって、
（α－β）Ａⁿ ＝（α　β）（αⁿ 　　０）（１　－β）
　　　　　　　　（１　１）（０　　βⁿ ）（－１　α）

　　　　　　　＝（α　β）（　αⁿ 　－βαⁿ ）
　　　　　　　　（１　１）（－βⁿ 　　αβⁿ ）

　　　　　　　＝（αⁿ⁺¹ －βⁿ⁺¹ 　　－βαⁿ⁺¹ ＋αβⁿ⁺¹ ）
　　　　　　　　（　αⁿ －βⁿ 　　　　－βαⁿ ＋αβⁿ 　）

∴Ａⁿ ＝（αⁿ⁺¹ －βⁿ⁺¹ 　　　－βαⁿ⁺¹ ＋αβⁿ⁺¹ ）
　　　　（──────　　──────────）
　　　　（　α－β　　　　　　　α－β　　　　）
　　　　（　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
　　　　（　αⁿ －βⁿ 　　　　－βαⁿ ＋αβⁿ 　）
　　　　（──────　　──────────）
　　　　（　α－β　　　　　　　α－β　　　　）……（答）