(1)
kを負でない整数として
a=7k+3とおけます。
\(a^{n}\)=(7k+3\()^{n}\)
二項定理から
\(a^{n}\)=nC0・(7k\()^{n}\)+nC1・(7k)^(n-1)・3+・・・+nC(n-1)・(7k)・3^(n-1)+\(3^{n}\)
右辺のn+1項のうち第1項から第n項は7の倍数なので
\(a^{n}\)を7で割った余りは、\(3^{n}\)を7で割った余りに等しい
よって
a(6)は\(3^{6}\)=729を7で割った余りだから
a(6)=1・・・（答）

（２）
a(1)=3,a(2)=2,a(3)=6,a(4)=4,a(5)=5,a(6)=1となりますが
n=7以降もこれを繰り返します。
Σ(k=1,6)a(k)=21となって７で割り切れるので
Σ(k=1,96)a(k)も７で割り切れます。
よって
b(100)は3+2+6+4=15を７で割った余りなので
b(100)=1・・・（答）

wakkyさん解答ありがとうございます。
あの問題、合同式利用して解けますか??2コ目がうまくイメージわきません…

高校数学の範囲だと考え
合同式は避けました
合同式を使えば
（１）
aは7で割って3余るから
a≡３(mod 7)から直ちに
\(a^{n}\)≡３^n(mod 7)
n=6のとき
\(a^{6}\)≡\(3^{6}\)=729≡1(mod 7)
となりますね。

（２）はどうなんでしょう？
合同式を用いたエレガントな回答は思いつきません。
Σ(1,6)a(k)≡0(mod 7)
b(100)=Σ(1,16){Σ(6m-5,6m)a(m)}＋・・・
ということでしょうか？

(1)wakkyさんと同様です。

(2)Σ(k=1からnまで)\(a_{k}\)
=\(a_{1}\)+\(a_{2}\)+\(a_{3}\)+・・・+\(a_{n}\)

ここで\(a^{n}\)≡\(3^{n}\) (mod 7)より
　　　　 ≡3+\(3^{2}\)+\(3^{3}\)+・・・+\(3^{n}\)（mod 7）
∴\(b_{n}\)=\(\frac{3}{2}\)(\(3^{n}\)-1)

ここで

\(3^{100}\)-1≡\(2^{50}\)-1 (mod 7)
　　　　 ≡\(2^{5}\)-1 (mod 7)
　　　　 ≡10 (mod 7)

∴\(b_{100}\)≡\(\frac{3}{2}\)(10) (mod 7)
　　　　　≡15　　　(mod 7)
　　　　　≡1

いかがでしょうか。