D={\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦y}とするとき,次の二重積分を計算せよ．
I=∬_D(\(\sqrt{\quad}\)y)dxdy
Dの範囲を\(x^{2}\)+(y-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)≦\(\frac{1}{4}\)と変換し，
x=rcosθ, y=rsinθ+\(\frac{1}{2}\)と表し，
範囲を0≦r≦\(\frac{1}{2}\),0≦θ≦2πとして解こうとしたのですがうまくいきませんでした。
分かる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。
★希望★完全解答★
被積分関数は x に依存しないので, 簡単の為に, 積分領域 D の y 軸に関する対称性を使って
I = 2∫_(D∩{(x, y)| x ≧ 0}) (\(\sqrt{\quad}\)y)dxdy
とする。
I = 2∫_(y = 0)1 (\(\sqrt{\quad}\)y)∫_(x = 0)^\(\sqrt{\quad}\)(y - y2) dx dy
= 2∫_01 (\(\sqrt{\quad}\)y)\(\sqrt{\quad}\)(y - y2) dy
= 2∫_01 y\(\sqrt{\quad}\)(1 - y) dy
= 2∫_01 y d(-(\(\frac{2}{3}\))(1 - y)^(\(\frac{3}{2}\)))
= 2([-(\(\frac{2}{3}\))(1 - y)^(\(\frac{3}{2}\))]_01 - ∫_01 (-(\(\frac{2}{3}\))(1 - y)^(\(\frac{3}{2}\))) dy)
= (\(\frac{4}{3}\))∫_01 (1 - y)^(\(\frac{3}{2}\))) dy
= (\(\frac{4}{3}\))・(-\(\frac{2}{5}\))[(1 - y)^(\(\frac{5}{2}\))]_01
= -(\(\frac{8}{15}\))・(0 - 1) = \(\frac{8}{15}\).