xの関数f(x)に関する常微分方程式
d2(f)/dx2=c^(2)・f, f(0)=f(π)=0は
c=\(\pm\)mi (m=1,2,...;i2=-1)の時にf(x)=0以外の解 f=Asin(mx);Aは定数（A≠0)
を持つ．
これを用いて以下の偏微分方程式の恒等的に0でない解を求めよ．
δ^2(u)/δx2 + δ^2(u)/δy2=0 (0＜x＜π, 0＜y＜＋∞)
境界条件: u(0,y)=u(π,y)=0,
u(x,0)=sin(2x),u(x,＋∞)=0
＜注意＞記号が無かったのでδは偏微分のつもりです．
手順に従い以下の問題に答えよ．
(a)u(x,y)=X(x)Y(y)とおき，X(x),Y(x)に関する常微分方程式を導く．
(b)関数X(x)を求める．
(c)関数u(x,y)を求める．
★希望★完全解答★
(a) に従って先ず u(x, y) = X(x)Y(y) と置くと
∂u/∂x = X'(x)Y(y),
∂^2u/∂\(x^{2}\) = X''(x)Y(y),
同様に ∂^2u/∂\(y^{2}\) = X(x)Y''(y).
従って,
∂^2u/∂\(x^{2}\) + ∂^2u/∂\(y^{2}\) = X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0.
X''(x)/X(x) = -Y''(y)/Y(y).
この式の左辺は x のみの式であるが, 同時に右辺は y のみの式。
それらが等しいということは, 実は各々 x にも y にも依存しない定数ということである。
従って,
X''(x)/X(x) = -Y''(y)/Y(y) = \(c^{2}\) (定数)
と置くことが出来る。
即ち
X''(x) = \(c^{2}\)X(x),
Y''(y) = -\(c^{2}\)Y(y)
である。
(b) 問題の前半のヒントに従うと, c = \(\pm\)mi (m=1, 2 ,... ; \(i^{2}\) = -1) の時に
X = A sin(mx), A: non zero constant.
(c) (b) の設定の下では
Y''(y) = \(m^{2}\)Y(y), m = 1, 2, ...
である。 これを解くと
Y = Be^(my) + Ce^(-my)
となるが, u(x, ＋∞) = 0 だから B = 0 である。
従って, u(x, y) = X(x)Y(y) = ACe^(-my)sin(mx)
となるが, u(x, 0) = AC sin(mx) なので, AC = 1, m = 2 でなければならない。
即ち
u(x, y) = e^(-2y)sin(2x).