ふっっっめいりょうな質問ですね。
実際問題、こう言う場合は問題文全部転載した方が良いです。貴方の「解釈」聞いても
しょーがない、んですよ。
別に「考え方」を述べるのが悪い事、って言ってるんじゃないです。そーじゃなくって、
それも必要ですが、問題文と照らし合わせ無いと判断出来ないんですよ。
そもそも、これは物理なのか、あるいは数学として訊いてるのか全然分からないから、
です。

例えば、ですね。

＞水滴は表面積に比例して蒸発する。

なんてのは条件でも何でも無いですよ。
時間微分をダッシュ(')で表現すると、球の体積をV、球の半径をrとすれば、球の体積が

V = 4π/3*\(r^{3}\)

とすれば、

V' = 4π*\(r^{2}\)*r'

になります。球の表面積が

A = 4π*\(r^{2}\)

である以上、

V' = A * r'

と記述できるんで、こんなの「数学的操作による帰結」なんで条件でも何でもない、です。
数学的に天下りな計算結果が出るんで「当たり前」なんですよ。
分かりますか?

つまり、r'が何なのか、ってのが問われるわけなんですけど、「数学的な観点」で言うと
「何でもアリ」ですよね。別に指数関数でも構いませんし、下手すれば三角関数でも良い
わけです。
従って、本当に必要な「条件」ってのは、r'が「何なのか」?それが分からんと解きようが
ない、んですよ。少なくとも、貴方が示した条件では、「rの時間微分が定数である」と
言う条件は見当たりません。

そうすると、

＞解答解説には

で、r'=-kとしてるなら、「r'が定数である」と言う条件が、どっか問題文に書いてなきゃ
「問題として成り立たない」わけです。
分かりますかね?
これだと、不明瞭過ぎて、何とも答えようがありませんね。

＞両辺を（４π/３）⊿tで割って
＞{\(r^{3}\)(t)-\(r^{3}\)(t+⊿t)}/⊿t＝３k\(r^{2}\)(t)
＞⊿t→0の極限をとって
＞-d\(\frac{r}{d}\)t＝３k\(r^{2}\)(t)
＞d\(\frac{r}{d}\)t＝-３k\(r^{2}\)(t)
＞となり

ならんでしょ(笑)。

r(t+Δt)/ΔtのΔt→0の極限取ってd\(\frac{r}{d}\)tだ、っつーのならまだ分かりますが、そもそも
分母はrがtの関数だとしても「3乗」ですよ?半径r「そのものの」時間毎の増加率(ある
いは減少率)を計算してるわけでも何でも無いでしょう。
従って、上の3行目と4行目の論理は「トビ過ぎて」います。計算が破綻してますね。