未定係数法や, 演算子法もあるけれど, こう考えてはどうですか。
y'' - y = y'' - y' + y' - y = #y' - y#' + #y' - y# = \(e^{x}\) + cos x
#\(e^{x}\)##y' - y#' + #\(e^{x}\)##y' - y# = e^#2x# + #\(e^{x}\)#cos x
##\(e^{x}\)##y' - y##' = e^#2x# + #\(e^{x}\)#cos x
#\(e^{x}\)##y' - y# = #\(\frac{1}{2}\)##e^#2x# + #\(e^{x}\)##sin x + cos x## - 2\(C_{1}\)
y' - y = #\(\frac{1}{2}\)###\(e^{x}\)# + sin x + cos x# - 2#\(C_{1}\)#e^#-x##
#e^#-x##y' - #e^#-x##y = \(\frac{1}{2}\) + #\(\frac{1}{2}\)##e^#-x###sin x + cos x# - 2#\(C_{1}\)#e^#-2x#
##e^#-x##y#' = \(\frac{1}{2}\) + #\(\frac{1}{2}\)##e^#-x###sin x + cos x# - 2#\(C_{1}\)#e^#-2x#
#e^#-x##y = #\(\frac{1}{2}\)#x - #\(\frac{1}{2}\)##e^#-x##cos x + #\(C_{1}\)#e^#-2x# + \(C_{2}\)
y = #\(\frac{1}{2}\)#x#\(e^{x}\)# - #\(\frac{1}{2}\)#cos x + #\(C_{1}\)#e^#-x# + #\(C_{2}\)##\(e^{x}\)#

#ここ
http://phaos.hp.infoseek.co.j\(\frac{p}{i}\)nt\(\frac{2}{b}\)yparts.htm
の例の #7# も参照のこと。#

いつもありがとうございます。
ところで回答の＃の記号は初めて見ましたが
どういう意味でしょうか。

すいません, 文字化けしていますね。
#は ( か ) かどっちかです。

何度やっても文字化けするみたいなので, こちら
http://star.ap.teacup.co\(\frac{m}{p}\)hao\(\frac{s}{88}\).htmlをどうぞ。

（武田：修正しました。）
未定係数法や, 演算子法もあるけれど, こう考えてはどうですか。
y'' - y = y'' - y' + y' - y = （y' - y）' + （y' - y） = \(e^{x}\) + cos x
（\(e^{x}\)）（y' - y）' + （\(e^{x}\)）（y' - y） = e^（2x） + （\(e^{x}\)）cos x
｛（\(e^{x}\)）（y' - y）｝' = e^（2x） + （\(e^{x}\)）cos x
（\(e^{x}\)）（y' - y） = （\(\frac{1}{2}\)）｛e^（2x） + （\(e^{x}\)）（sin x + cos x）｝ - 2\(C_{1}\)
y' - y = （\(\frac{1}{2}\)）｛（\(e^{x}\)） + sin x + cos x｝ - 2\(C_{1}\)｛e^（-x）｝
｛e^（-x）｝y' - ｛e^（-x）｝y = \(\frac{1}{2}\) + （\(\frac{1}{2}\)）｛e^（-x）｝（sin x + cos x） - 2\(C_{1}\)｛e^（-2x）｝
［e^（-x）｝y］' = \(\frac{1}{2}\) + （\(\frac{1}{2}\)）｛e^（-x）｝（sin x + cos x） - 2\(C_{1}\)｛e^（-2x）｝
｛e^（-x）｝y = （\(\frac{1}{2}\)）x - （\(\frac{1}{2}\)）｛e^（-x）｝cos x + \(C_{1}\)｛e^（-2x）｝ + \(C_{2}\)
∴y = （\(\frac{1}{2}\)）x（\(e^{x}\)） - （\(\frac{1}{2}\)）cos x + \(C_{1}\)｛e^（-x）｝ + \(C_{2}\)（\(e^{x}\)）

※ここ　http://phaos.hp.infoseek.co.j\(\frac{p}{i}\)nt\(\frac{2}{b}\)yparts.htm　の例の （7） も参照のこと。