\(x^{2}\)-3x+m-1=0と
\(x^{2}\)+(m-2)x-2=0が
ただひとつの共通する実数解を持つということは
二次関数
y=\(x^{2}\)-3x+m-1・・・（あ）
と
y=\(x^{2}\)+(m-2)x-2・・・（い）
が、x軸上の共通なただひとつの点で交わることを意味します。
そこで
xのまま進めてはだめか？についてですが
xは、（あ）（い）においては
あらゆる実数値を取る「変数」なのです
問題の解き方としては、xのまま進めても
同じ結果になりますが
「x軸上の共通なただひとつの点で交わったとき」
のxの値がただひとつの共通解なので
あらゆる値を取る訳ではありません
したがって
特定の解の値であるという意味において
x=αとかx=aなどとしているのです。
そのような意味を理解しているかどうかが
解答の内容によって問われる場合もあるので
きちんと「特定の解」であることを示すためには
「共通の解をx=αとすると・・・」
と書いた方がよろしいかと思います。
さて
\(x^{2}\)-3x+m-1=0・・・①
\(x^{2}\)+(m-2)x-2=0・・・②
①と②の共通する解を
x=αとすると
α^2-3α+m-1=0・・・③
α^2+(m-2)α-2=0・・・④
となります
④-③より
(m+1)(α-1)=0
∴m=-1またはα=1
m=-1のとき
①②はともに
\(x^{2}\)-3x-2=0
となり
また
\(x^{2}\)-3x-2=0の判別式＞0なので
異なる二つの実数解をもつ
すなわち
①②はふたつの共通する実数解を持つので
題意に反するので不適
α=1のとき
すなわち、①②が
共通解x=1を持つとき
m=3を得る
実際
m=3のとき
①は
\(x^{2}\)-3x+2=0
(x-1)(x-2)=0
x=1またはx=2
②は
\(x^{2}\)+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2またはx=1
以上から
m=3,共通する解はx=1・・・（答）