分母分子を(X+2)で割ると
(X+2)/(\(X^{2}\)+2X+16)=1/[X+{16/(X+2)}]
となるから、X+{16/(X+2)}の最小値を求めればよい。

X+{16/(X+2)}=(X+2)+{16/(X+2)}-2と変形すると
X＞-2より、X+2＞0、16/(X+2)＞0となるので
相加相乗平均の関係から
(X+2)+16/(X+2)≧2\(\sqrt{\quad}\){（X+2)*16/(X+2)}すなわち
(X+2)+16/(X+2)≧8
　等号成立は、X+2=16/(X+2)よりX=2のとき最小値8をとる。
よって、
(X+2)/(\(X^{2}\)+2X+16)≦\(\frac{1}{6}\) (等号はX=2のとき)