先ず, 直線 l を
1 - x = y + 1,
y + 1 = (z - 2)/4
という二つの平面に分解する。
書き換えると
x + y = 0,
4y - z + 6 = 0
である。
平面 x + y = 0 と α は 45°の角度ではない (実際は 30°) ので, pencil
(x + y) + t(4y - z + 6) = 0
を考える。 書き換えると
x + (1 + 4t)y - tz + 6t = 0
である。 これの法線 vector は (1, 1 + 4t, -t), α の法線 vector は (4 , -1, -1) だから,
これらが 45°を成すとすれば
(1 - t)/((\(\sqrt{\quad}\)2)\(\sqrt{\quad}\)(17\(t^{2}\) + 8t + 2)) = 1/\(\sqrt{\quad}\)2.
従って
1 - t = \(\sqrt{\quad}\)(17\(t^{2}\) + 8t + 2), t ≦ 1.
\(t^{2}\) - 2t + 1 = 17\(t^{2}\) + 8t + 2
16\(t^{2}\) + 10t + 1 = 0
(2t + 1)(8t + 1) = 0.
故に t = -\(\frac{1}{2}\), -\(\frac{1}{8}\). (適)
t = -\(\frac{1}{2}\) の時 2x - 2y + z - 6 = 0.
t = -\(\frac{1}{8}\) の時 8x + 4y + z - 6 = 0.