こんばんは。これは、英語が読めないで困っている、という話なのでしょうか。
それとも英語は読めるけれど、数学の問題が解けない？

　書いてあることは結局
（１）　　tan(\(\frac{1}{2}\) sin^(-1)\(\frac{96}{265}\))
（２）　　cos(2tan^(-1) (\(\frac{47}{18}\)))
（３）　　sin^(-1)(sin(-\(\frac{240868}{45}\) pi))

　の値をそれぞれ求めよ。結果の分数は約分して示せ
というだけですね。ただ、逆三角関数の値域が明示されていないので、ちょっと戸惑います。

（１）　　tan(\(\frac{1}{2}\) sin^(-1)\(\frac{96}{265}\))
　これは結局
　sin^(-1)(\(\frac{96}{265}\))＝θとおいた時、
　tan(θ/2)を求めよ。
ということで、しかも、問題に「三角形を描くことにより」求めよと指示がついています。
　 図を描いて三平方の定理を使うと、
　tanθ＝\(\frac{96}{247}\)は容易にわかります。
　一方、倍角の公式より　tanθ＝2tan(θ/2)/(1-ta\(n^{2}\)(θ/2))
　かつ、図よりtan(θ/2)＞０

　これを解いてtan(θ/2)＝18／96＝\(\frac{3}{16}\)

（２）
　　cos(2tan^(-1) (\(\frac{47}{18}\)))、ただし、元の角は第一象限にある、と条件付きです。
（initial angelsは anglesですよね。「最初の天使は」ってことは、、、(^_^;)））

　（１）と同様に、tan^(-1) (\(\frac{47}{18}\))＝θとおけば、
　条件から０＜θ＜π/2。

　図を描いて考えれば、co\(s^{2}\)(θ)＝1\(8^{2}\)／（4\(7^{2}\)＋1\(8^{2}\)）
これと倍角の公式
　cos2θ=2co\(s^{2}\)(θ)－１から
　与式＝-2209／2533

（3）　sin^(-1)(sin(-\(\frac{240868}{45}\) pi))
　問題の条件がやや不足気味ですが、piは円周率πのことで、しかも分子に来ている、
つまり、sinの中身は（-240868π/45）ということだと解釈します。
sin^(-1)の値域がよく分かりませんが、よくあるように
　－π/2≦sin^(-1)θ≦π/2だと思って考えます。
　sinは周期２πの周期関数ですから、
　sin(-240868π/45)
＝sin〔(-240840π/45）－（28π/45）〕
＝sin〔－（28π/45）〕
＝sin〔－（56π/90）〕
＝sin〔－（45π/90）－（11π/90）〕
＝sin〔－（45π/90）＋（11π/90）〕
＝sin（－34π/90）
これをsin^(-1)で戻すのですから

与式＝－34π/90