こんばんは。明らかに大学生向けの問題ですね。計算に時間がかかりましたが、本質的に
難しい点はない問題かと思います。
　「できるだけ詳しく」とのことでしたが、

「マクローリン展開」　

f(x)＝f(0)＋xf'(0)＋\(x^{2}\)・f''(0)/(２！) ＋ \(x^{3}\)・f'''(0)/(３！)＋……

は知っていますね?
ここから説明するのは長くなり過ぎて無理です。知らないなら教科書を見て下さい。

　では、解答です

＜問題（１）＞
　f(x)＝-1/(\(x^{2}\)+x-1)とする。
　方程式　\(x^{2}\)+x-1＝０の２解をα、βと書くと、
解と係数の関係より、α＋β＝αβ＝-1

そして、適当なＡ、Ｂを取れば
　f(x)＝Ａ/(x-α)＋Ｂ/（x-β）と部分分数で表せる。

さて、1/(x-α)をマクローリン展開すれば

1/(x-α)＝Σ(n=0～∞)　-\(x^{n}\)/α^(n+1）であるから
　
f(x)＝Ａ/(x-α)＋Ｂ/（x-β）
　　＝－Σ(n=0～∞)＜｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）｝\(x^{n}\)＞　
と書け、求める\(a_{n}\)は

　\(a_{n}\)＝－｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）｝　　 と表せる。

ここで
　－｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）｝（α＋β）
＝－（Ａ/α^n　＋　Ｂ/β^n）－｛βＡ/α^(n+1）　＋　αＢ/β^(n+1）｝
＝a_(n-1)－｛αβＡ/α^(n+2）　＋　αβＢ/β^(n+2）｝
で、αβ＝-1だから
＝a_(n-1)＋｛Ａ/α^(n+2）　＋Ｂ/β^(n+2）｝
＝a_(n-1)－a_(n+1)
　
　（α＋β）＝－１も考えれば、結局
－\(a_{n}\)＝a_(n-1)－a_(n+1)

整理して　　　　　　　　　　　
　　
a_（n+1）＝\(a_{n}\)＋a_(n-1)　、、、　　★

マクローリンの定理より

\(a_{0}\)＝f(0)＝１、\(a_{１}\)＝f’(0)＝１

以下、★に従って順に求めれば

\(a_{2}\)＝２、\(a_{3}\)＝３　\(a_{４}\)＝５、\(a_{５}\)＝８　\(a_{６}\)＝13、\(a_{７}\)＝21
\(a_{８}\)＝34、\(a_{９}\)＝55　\(a_{10}\)＝89

規則性とその理由は、★の式とその導出過程より明らかである。


＜問題（２）＞
　f(x)＝x-2/(\(x^{2}\)+x-1)とすれば、問題（１）と同様に

a_（n+1）＝\(a_{n}\)＋a_(n-1)　、、、　　★が成り立つ。
　問題（１）で★を導くには、f(x)の分母で決まるαとβの関係式しか使っておらず、
★はf(x)の分子に関係なく成立する。

そしてマクローリンの定理より
\(a_{0}\)＝f(0)＝２、\(a_{１}\)＝f’(0)＝１

以下、順に求めれば

\(a_{2}\)＝３　\(a_{3}\)＝４　\(a_{４}\)＝７　\(a_{５}\)＝11　\(a_{６}\)＝18　\(a_{７}\)＝29
\(a_{８}\)＝47　\(a_{９}\)＝76　　\(a_{10}\)＝123

規則性とその理由は、★の式とその導出過程より明らかである。


＜問題（３）＞
　f(x)＝-\(x^{2}\)/(\(x^{3}\)＋\(x^{2}\)+x-1)とする。

　方程式　\(x^{3}\)＋\(x^{2}\)+x-1＝０の３解をα、β、γと書く。
解と係数の関係より、
α＋β＋γ＝-1、αβ＋βγ＋γα＝1、αβγ＝１

適当なＡ、Ｂ、Ｃを取れば
　f(x)＝Ａ/(x-α)＋Ｂ/（x-β）＋Ｃ/（x-γ）と部分分数で表せる。

問題（１）、（２）と同様に考えれば

f(x)　＝－Σ(n=0～∞)＜｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）＋　Ｃ/γ^(n+1）｝\(x^{n}\)＞　と書け、

\(a_{n}\)＝－｛Ａ/α^(n+1）　＋　Ｂ/β^(n+1）　＋Ｃ/γ^(n+1）｝
と表せる。
ここで
（α＋β＋γ）\(a_{n}\)＝－｛Ａ/α^n　＋　Ｂ/β^n　＋Ｃ/γ^n）｝－｛（β＋γ）Ａ/α^(n+1）
　　　　　　　　　　＋　（α＋γ）Ｂ/β^(n+1）　＋（α＋β）Ｃ/γ^(n+1）｝

＝a_（n-1）－｛α（β＋γ）Ａ/α^(n+2）　＋　β（α＋γ）Ｂ/β^(n+2）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋γ（α＋β）Ｃ/γ^(n+2）｝

＝a_（n-1）－｛（１－βγ）Ａ/α^(n+2）　＋　（１－αγ）Ｂ/β^(n+2）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋（１－αβ）Ｃ/γ^(n+2）｝

以下、αβ＋βγ＋γα＝1とαβγ＝１に注意して整理すれば、

結局

a_（n+3）＝a_（n+2）＋a_（n+１）＋\(a_{n}\)、、、、★★

が得られる。

マクローリンの定理より
\(a_{0}\)＝f(0)＝０、\(a_{１}\)＝f’(0)＝０　\(a_{2}\)＝f’'(0)/2＝１

以下、★★に従って順に求めれば、

\(a_{3}\)＝１　\(a_{４}\)＝２　\(a_{５}\)＝４　\(a_{６}\)＝７　\(a_{７}\)＝13
\(a_{８}\)＝24　\(a_{９}\)＝44　　\(a_{10}\)＝81

規則性とその理由は、★★の式とその導出過程より明らかである。