実数解を持つので D/4 = -\(a^{2}\) + (\(\frac{2}{3}\))a + \(\frac{1}{3}\) ≧ 0.
即ち 3\(a^{2}\) - 2a - 1 = (3a + 1)(a - 1) ≦ 0 より -\(\frac{1}{3}\) ≦ a ≦ 1.
さて, 実際に最初の方程式
3\(x^{2}\) + 6ax + 6\(a^{2}\) - 2a - 1 = 0
を解くと
x = (-3a \(\pm\) \(\sqrt{\quad}\)(-9\(a^{2}\) + 6a + 3))/3
で, d\(\frac{x}{d}\)a = -1 \(\pm\) (-3a + 1)/\(\sqrt{\quad}\)(-9\(a^{2}\) + 6a + 3)
ここで d\(\frac{x}{d}\)a = 0 と置くと, 複号が + の方では a = (1 - \(\sqrt{\quad}\)2)/3, - の方では a = (1 + \(\sqrt{\quad}\)2)/3 を得る。
それらの値の時, 各々 x = (-3 + 5\(\sqrt{\quad}\)2)/9, -(3 + 5\(\sqrt{\quad}\)2)/9 で, 増減を考えると結局,
-(3 + 5\(\sqrt{\quad}\)2)/9 ≦ x ≦ (-3 + 5\(\sqrt{\quad}\)2)/9 となる。
もしも α ≦ β が仮定されているのであれば -(3 + 5\(\sqrt{\quad}\)2)/9 ≦ α ≦ -\(\frac{1}{3}\).
もしも α ≧β が仮定されているのであれば -1 ≦ α ≦ (-3 + 5\(\sqrt{\quad}\)2)/9 である。