Maxima で draw(gr2d(ellipse(3,3,sqrt(10),sqrt(10),0,360),explicit(-\(x^{2}\)/3+4,x,-4,4))); とでも
やって graph を描かせてみると分かるように, 領域は放物線の上側, 円の内側になっている。
この円は (0, 4) を通っていて, z = \(x^{2}\) + \(y^{2}\) と置くと, ここでは z = 16. (因みにもう一つの交点
の x 座標は (sqrt(730)+27)^(\(\frac{1}{3}\))-1/(sqrt(730)+27)^(\(\frac{1}{3}\)) となるらしいが,
明らかにこの点は (0, 4) より遠い)

放物線に接する時, \(x^{2}\) = 12 - 3y として代入すると,
\(y^{2}\) - 3y + 12 - z = 0.
(y に関し) 判別式を採って, D = 9 - 4(12 - z) = 4z - 39 = 0 より
z = \(\frac{39}{4}\) (= 9.75 < 16). (この時 y = \(\frac{3}{2}\) なので適)

一方,
\(x^{2}\) + \(y^{2}\) - 6x - 6y + 8 = 0 に z = \(x^{2}\) + \(y^{2}\) を代入すると -6x - 6y + 8 + z = 0.
即ち y = (-6x + 8 + z)/6. これを z = \(x^{2}\) + \(y^{2}\) に代入して, (x に関し) 判別式を採り,
D/4 = -36(\(z^{2}\) - 56z + 64) = 0.
（赤字部分を訂正しました。）
解くと z = 28 \(\pm\) 12\(\sqrt{\quad}\)5. 明らかに複号が - の方は, 原点に近い方で接しているので, + の方。
従って, \(\frac{39}{4}\) ≦ z ≦ 28 + 12\(\sqrt{\quad}\)5.