お久しぶりです

\(\vec{AD}\)=(\(\frac{2}{3}\))\(\vec{AB}\)+(\(\frac{1}{3}\))\(\vec{AC}\)
3点A,P,Dは一直線上にあるから
実数sを用いて
\(\vec{AP}\)=s\(\vec{AD}\)とおけて
\(\vec{AP}\)=(\(\frac{2}{3}\))s\(\vec{AB}\)+(\(\frac{1}{3}\))s\(\vec{AC}\)・・・①
\(\vec{AE}\)=(\(\frac{1}{3}\))\(\vec{AC}\)
点Pは線分BE上にあるから
実数t(0<t<1)を用いて
\(\vec{AP}\)=t\(\vec{AB}\)+(1-t)\(\vec{AE}\)とおけて
\(\vec{AP}\)=t\(\vec{AB}\)+(\(\frac{1}{3}\))(1-t)\(\vec{AC}\)・・・②
\(\vec{AB}\)と\(\vec{AC}\)はゼロベクトルでなく平行でないので
①②より
(\(\frac{2}{3}\))s=t，(\(\frac{1}{3}\))s=(\(\frac{1}{3}\))(1-t)
これを解いて
t=\(\frac{2}{5}\),s=\(\frac{3}{5}\)
よって
\(\vec{AP}\)=(\(\frac{2}{5}\))\(\vec{AB}\)+(\(\frac{1}{5}\))\(\vec{AC}\)・・・（答）

　こんにちは。
　この問題は「座標平面上で、与えられた２直線の交点を求めよ」という問題と、本質的
には同じです。同じだと分かっていれば、ほとんど計算問題です。つまりは「分かってい
ますか」と問われているのです。
　さて、以下の文章では、ベクトルを表す→記号は、適宜省略します。また、実数を表す
文字として、m,nなどを用います。それぞれの文字がベクトルを意味しているのか実数を
意味しているのか、よく注意しながら読んで下さい。

　まず、解答の前に確認しておくことがあります。

　平面上に、原点Ｏと、Ｏ以外で互いに異なる点Ａ、Ｂを考え、→ＯＡ＝ａ、→ＯＢ＝ｂ
とします。また、平面上の点Ｐ、Ｑに対し、→ＯＰ＝ｐ、→ＯＱ＝qと表すことにします。
この時、任意のＰに対して、実数ｍと実数ｎの組がただ１組だけ存在し、
　ｐ＝ｍａ＋ｎｂ
　と表せます。
★特に　ｐ＝ｍａ＋ｎｂ、ｑ＝xａ＋yｂで、かつｐ＝ｑならば、　m=x　かつ　ｎ＝ｙ　
　です。
　つまり、平面上の点Ｐと、実数の組（m,n）は１対１に対応します。言い換えれば平面
に、Ｏ、ａ、ｂを基準とした座標を導入できたわけです。
　こうなることは、実際に３点Ｏ、Ａ、Ｂを図に書き、ＯＡとＯＢに平行な直線をたく
さん引いて考えれば納得できると思います。
（特殊な場合として、通常のｘｙ座標で、点（０、０）にＯ、点（１、０）にＡ、
点（０、１）にＢと名前を付けると、上記が成り立つのはすぐわかるでしょう。）

　以上が理解できていれば、この問題は簡単です。
　では、解答です。

　△ABCにおいて、点Ａを始点とした点Ｂ、点Ｃ、点Ｄ、点Ｅ、点Ｐの位置ベクトルを、
それぞれｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｐで表す。
　ＤはＢＣを１：２に内分する点だから
ｄ＝（\(\frac{2}{3}\)）b+(\(\frac{1}{3}\))ｃ　
（これは公式です。なぜこうなるか、分からなければ教科書を見て下さい。）
同様に、ｅ＝（\(\frac{1}{3}\)）ｃ　である。

　さて、直線ＡＤ上にある点Ｑを考える。Ｑの位置ベクトルをｑとすれば、ある実数ｍ
を用いて、
　ｑ＝ｍｄ＝（2ｍ/3）b+(ｍ/3)ｃ
と書ける。

　また、直線ＢＥ上にある点Ｒを考え、位置ベクトルをrとすれば、
→ＡＲ＝→ＡＢ＋→ＢＲだから、
ｒは、ある実数ｎを用いて
　r=b+n（ｅ－ｂ）＝（１－ｎ）ｂ＋（\(\frac{n}{3}\)）ｃと書ける。

　そして求める点Ｐは、直線ＡＤと直線ＢＥの交点だから
ｐ＝（2ｍ/3）b+(ｍ/3)ｃ＝（１－ｎ）ｂ＋（\(\frac{n}{3}\)）ｃ
と表せる。
ここで★を考えて、ｂ、ｃの係数を見比べれば

　2ｍ/3＝１－ｎ　かつ　ｍ＝ｎ

これより　ｍ＝ｎ＝\(\frac{3}{5}\)

　つまりｐ＝（\(\frac{2}{5}\)）b＋（\(\frac{1}{5}\)）cであり、
求める答えは

→ＡＰ＝（\(\frac{2}{5}\)）→ＡＢ＋（\(\frac{1}{5}\)）→ＡＣ