他のサイトでの私の解答と同じものを掲載します

x=2,4は解であることは分かりますがグラフを書くと
xは負の値で解を持つことが分かります。
しかし、その厳密解は多分紙と鉛筆では
求まらないのではないかと思います。
もし、求まるのなら、どなたか教えてください。

さて
ニュートン法により近似解を求めて見ると

f(x)=\(x^{2}\)-\(2^{x}\)とすると
f’(x)=2x-\(2^{x}\)log2（対数は自然対数）なので、漸化式
x(n+1)=x(n)-{f(x(n))/f’(x(n))}より
x(n+1)=x(n)-{(x(n\()^{2}\)-\(2^{x}\)(n)}/{2x(n)-\(2^{x}\)(n)log2}

初期値として
ｘ（0）=-1とすると近似解は
x=-0.766664696
を得ました。

収束も早く、n=4程度でこの値になります。
x(0)=0にすると、n=5でこの値になりました。
ちなみに
x(0)=1やx(0)=2では、解はx=2を得て
x(0)=3やx(0)=4では、解はx=4を得ます。

いずれも収束は早いです。
なお、計算はエクセルを用いました。