豆氏より間違いのご指摘を受けました。
感謝します。
解答を次のように訂正します。

f(x) = 3(a - b)\(x^{2}\) + 6bx - a - 2b = 0 と置く。
x に関する判別式を D とすると
D/4 = 9\(b^{2}\) - 3(a - b)(-(a + 2b))
= 9\(b^{2}\) +3(\(a^{2}\) + ab - 2\(b^{2}\))
= 9\(b^{2}\) + 3\(a^{2}\) + 3ab - 6\(b^{2}\)
= 3\(a^{2}\) + 3ab + 3\(b^{2}\)
= 3(\(a^{2}\) + ab + \(b^{2}\))
= 3((a + \(\frac{b}{2}\)\()^{2}\) + 3\(b^{2}\)/4) > 0. (a と b は同時には 0 でないから)
よって, 必ず相異なる二実数解を持つ。

-f(0)f(1) = (2a + b)(a + 2b) > 0 の場合は, 中間値の定理から言える。
そうでない場合。
即ち
(1) a > 0 で, -a < b < -\(\frac{a}{2}\) の場合
(2) a < 0 で, -\(\frac{a}{2}\) < b < -a の場合
と二通りある。
何れの場合でも
f(\(\frac{1}{2}\)) = -(a - b)/4 は f(x) の二次の係数と逆符号であり,
a > b ならば上記の (1) の場合で, この時, f(1) = 2a + b > a > 0,
a < b ならば上記の (2) の場合で, この時, f(1) = 2a + b < a < 0
だからグラフの形状から, 0 と 1 の間に二つの実数解をもつ。

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