有名な公式 \(x^{3}\) + \(y^{3}\) + \(z^{3}\) - 3xyz = (x + y + z)(\(x^{2}\) + \(y^{2}\) + \(z^{2}\) - xy - yz - zx)
に於いて, y = -a, z = -b と置くと
P = (x - a - b)(\(x^{2}\) + \(a^{2}\) + \(b^{2}\) + (a + b)x - ab)
後ろの方を二次方程式の解の公式を用いて因数分解すると
P = (x - a - b)(x - (ωa +(ω^2)b))(x - ((ω^2)a + ωb))

さて, \(x^{3}\) - 12x - 20 と P を比較すると
3ab = 12 (⇔ ab = 4 ⇒ \(a^{3}\)・\(b^{3}\) = 64)
\(a^{3}\) + \(b^{3}\) = 20.
従って, \(a^{3}\), \(b^{3}\) は方程式 \(t^{2}\) - 20t + 64 = 0 の二解で, (t - 4)(t - 16) = 0
から {\(a^{3}\), \(b^{3}\)} = {4, 16}
従って, (対称性から) a = 2^(\(\frac{2}{3}\)), b = 2・2^(\(\frac{1}{3}\)) とすることによって
x = 2^(\(\frac{2}{3}\)) + 2・2^(\(\frac{1}{3}\)), 2^(\(\frac{2}{3}\))・ω + 2・2^(\(\frac{1}{3}\))・ω^2, 2^(\(\frac{2}{3}\))・ω^2 + 2・2^(\(\frac{1}{3}\))・ω.
(因みに, これが Cardano の解法そのものである)