|a-b|≦|a|+|b|の証明
証明すべき不等式の両辺は
ともに負ではないので
|a-b|^2≦(|a|+|b|\()^{2}\)
であることを示せばよい
|a-b|^2-(|a|+|b|\()^{2}\)
=(a-b\()^{2}\)-(|a|+|b|\()^{2}\)
=\(a^{2}\)-2ab+\(b^{2}\)-(|a|^2+2|a||b|+|b|^2)
=\(a^{2}\)-2ab+\(b^{2}\)-(\(a^{2}\)+2|a||b|+\(b^{2}\))
=-2(|a||b|+ab)
=-2(|ab|+ab)
ab＞0のとき
|ab|=abで
-2(|ab|+ab)≦0
ab≦0のとき
|ab|=-abで
-2(|ab|+ab)＝0
よって
-2(|ab|+ab)≦0
がなりたつ
よって
|a-b|^2≦(|a|+|b|\()^{2}\)
が成り立つから
|a-b|≦|a|+|b|
が成り立つ
等号が成立するのは
計算過程から
|ab|+ab＝0のときだから
|ab|=-ab
すなわち
ab=0またはab＜0のとき
つまり
ab≦0のときである