半径rの円の中心をO
この円に内接する長方形ABCDを考えます。
∠OBC=θ(0＜θ＜π/2)とすると
辺BCを直径とする円の半径は
rcosθ
したがって円柱の円部分の面積は
2π\(r^{2}\)co\(s^{2}\)θ
ABの長さは
2rsinθ
辺BCを直径とする円の円周の長さは
2πrcosθ
したがって円柱の側面積は
2rsinθ×2πrcosθ
=4π\(r^{2}\)sinθcosθ
以上から円柱の表面積Sは
S=\(r^{2}\)co\(s^{2}\)θ+4π\(r^{2}\)sinθcosθ
=2π\(r^{2}\)(co\(s^{2}\)θ+2sinθcosθ）
co\(s^{2}\)θ=(1+cosθ)/2
2sinθcosθ=sin2θ
を利用して整理すると

S=2π\(r^{2}\){(\(\frac{1}{2}\))+(\(\frac{1}{2}\))cos2θ+sin2θ}

合成して
S=2π\(r^{2}\){(\(\frac{1}{2}\))+(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{5}{2}\))sin(2θ+α)}
ただし、sinα=1/\(\sqrt{\quad}\)5,cosα=2/\(\sqrt{\quad}\)5
0＜θ＜π/2より
0＜2θ＜π
また、sinα=1/\(\sqrt{\quad}\)5で、1/\(\sqrt{\quad}\)5＜\(\frac{1}{2}\)だから
0＜α＜π/6
よって
0＜2θ+α＜7π/6
2θ+α=π/2のときSは最大となり
このとき
S=2π\(r^{2}\){(\(\frac{1}{2}\))+(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{5}{2}\))}
=(1+\(\sqrt{\quad}\)5)π\(r^{2}\)・・・（答）
計算間違いはご容赦を