こんばんは。ちょっと面倒かもしれませんが、順番に場合分けしていくと、さほど悩まずに済みまし
た。簡単にわかる場合を先に考えて行くと、残る場合はあまり多くありません。
等号成立条件の書き方がややこしいですが。以下、解答です。

　f(x,y,z)
＝|x|+|y|+|z|+|x+y+z|－（|x+y|+|y+z|+|z+x|）
と置く。任意の実数x,y,zについてｆ≧０を示せばよい。

まず、x,y,zの少なくとも一つが０である場合を考える。

例えばｚ＝０の時、
f(x,y,０)＝|x|+|y|+|x+y+|－（|x+y|+|y|+|x|）＝０である。
つまり、xyz＝０ならば題意は成立する。

次に、ｘ＞０　かつ　ｙ＞０　かつ　ｚ＞０の場合を考える。
この時、絶対値は無視できて

f(x,y,z)＝x+y+z+x+y+z-（x+y+y+z+z+x）＝０　で題意は成立。

また、式の形からf(x,y,z)＝f(-x,-y,-z)、、、★
は明らかなので
ｘ＜０　かつ　ｙ＜０　かつ　ｚ＜０の場合も　ｆ＝０となり題意は成り立つ。

最後に、まず、x,y,zのうち二つが正で、一つが負である場合を考える。
★の式より、この場合に題意が成立すれば、二つが負で一つが正の場合も成立することは明らかである。

さて、例えば、ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＜０とすれば

f(x,y,z)
＝x+y+|z|+|x+y+z|-（x+y+|y+z|+|z+x|）
＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|x+z|

ここで場合分けする。

（１）　ｘ≧|z|　かつ　y≧|z|の場合。この時、
|x+y|＝ｘ＋y≧|z|なので

f(x,y,z)
＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|x+z|
＝|z|+|x+y+z|-|y|+|z|-|x|+|z|
＝|z|+|x+y|-|z|-y+|z|-x+|z|
＝２|z|
＞０

で成立する。

（２a）　ｘ≧|z|　かつ　y≦|z|の場合。
この時やはり、|x+y|＝ｘ＋y≧|z|で

f(x,y,z)
＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|x+z|
＝|z|+|x+y+z|+|y|-|z|-|x|+|z|
＝|x+y|+y-x
＝２y
＞０

（２b） ｘ≦|z|　かつ　ｙ≧|z|の場合も同様で、
f(x,y,z)＝２x＞０

(３)ｘ≦|z|　かつ　ｙ≦|z|の場合。

この時、さらに場合分けして

（３a）　ｘ＋ｙ≧|z|ならば
f(x,y,z)
＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|x+z|
＝|z|+|x+y+z|+|y|-|z|+|x|-|z|
＝|z|+|x+y|-|z|+|y|-|z|+|x|-|z|
＝２(x+y-|z|)
≧０

で題意は成立する。また、

（３b）　ｘ＋ｙ≦|z|ならば
f(x,y,z)
＝|z|+|x+y+z|-|y+z|-|z+x|
＝|z|+|x+y+z|+|y|-|z|+|x|-|z|
＝|z|-|x+y|+|z|+|y|-|z|+|x|-|z|
＝０

でやはり題意は成立する。
これで、題意は証明された。

等号が成立するのは
（イ）　xyz＝０
（ロ）　ｘ＞０　かつ　ｙ＞０　かつ　ｚ＞０
（ハ）　ｘ＜０　かつ　ｙ＜０　かつ　ｚ＜０
（ニ）　ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＜０など、x,y,zのうち二つが正で一つが負であり、
　　　　かつ、ｘ＋ｙ≦|z|など、正の数二つの和が、負数の絶対値以下の場合。
（ホ）　ｘ＜０，ｙ＜０，ｚ＞０など、x,y,zのうち二つが負で一つが正であり、
　　　　かつ、|ｘ＋y|≦zなど、負の数二つの和の絶対値が、正数以下の場合。