こんにちは。ちょっと問題文があいまいですね。この文章では、直線運動を開始した後、
それぞれの点の速度はどう変化したのか、が書かれていません。ですから「ｃは任意の値を
取り得る」が正解になります。

　（３点が運動開始後の適当な時点で、いずれ会合する地点につけるように運動の向きや速
さを変えれば、ｃの値がいくつでも、会合地点がどこでも、関係なく達成できることは明ら
か。）

　出題者がこんな解答を期待しているとは思えませんが、この問題文を書いてしまったら、
この解答に満点を与えるしかありません。テストにこの問題が出たら、この解答で十分。
考える時間は他の問題に使いましょう。

　さて問題の意図を「３点は直線運動を開始した後、『ずっと同じ速さで直線運動を続け』、
３点とも『同時に』定点Ｐに達した」と解釈すれば、ｃの範囲は限定されます。多分、こう
いう意図なのでしょう。

　この場合、運動開始から３点がＰに達するまでの経過時間をｔとすれば、それぞれの点の
速さが１、２、３ですから

ＡＰ＝t
ＢＰ=2t
ＣＰ=3t

となります。ここで、ＡＰ、ＢＰ、ＣＰはそれぞれ、線分ＡＰ、線分ＢＰ、線分ＣＰの長さ
を表すことにします。

（問題を解くときは、こうやって問題文の条件を数式で表すのが大切です。式にすると、
条件がいろいろ変形できて、解答につながりやすくなります。）

ですから
　ＢＰ＝２ＡＰ、、、、、①
　ＣＰ＝３ＡＰ、、、、、②
です。

ここで、Ｐの座標をＰ（x,y）と置くと、
①より

（x＋2）^2＋\(y^{2}\)＝4｛(x-1\()^{2}\)＋ｙ^2｝

で、整理すると

（x-2）^2＋ｙ^2＝４、、、、③

が得られます。Ｐは、③が表す円の上にあるわけです。

また、②より

（c-x）^2＋\(y^{2}\)＝9｛(x-1\()^{2}\)＋ｙ^2｝、、④

が得られます。

さて③より、ｙ^2＝４－（x-2）^2であり、
これを④に代入して、ｃについて解くと

ｃ＝ｘ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)｛(x＋7\()^{2}\)－40｝、、、、⑤

　となります。

　ｘの存在範囲は③より、０≦ｘ≦４ですから、
この範囲でｃの値の範囲を考えればよいわけです。

　ここで
　ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)｛(x＋7\()^{2}\)－40｝は上記の範囲で単調増加なのは明らかで
３≦ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)｛(x＋7\()^{2}\)－40｝≦１３

ｘ－\(\sqrt{\quad}\)｛(x＋7\()^{2}\)－40｝は、微分すると上記の範囲で単調減少とわかり

－５≦ｘ－\(\sqrt{\quad}\)｛(x＋7\()^{2}\)－40｝≦－３

結局、求めるｃの値の存在範囲は

－５≦ｃ≦－３　または　３≦ｃ≦１３

となります。