初項から第 n 項までの和を (いつものように) \(S_{n}\) と書く。
先ず \(a_{1}\) = \(S_{1}\) = (\(a_{1}\) + \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\) より (\(a_{1}\) - \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\) = 0. 従って \(a_{1}\) = \(\frac{1}{4}\).
n ≧ 2 で
\(S_{n}\) = S_(n - 1) + \(a_{n}\) = (a_(n - 1) + \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\) + \(a_{n}\)
で一方
\(S_{n}\) = (\(a_{n}\) + \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\)
でもあるから
(\(a_{n}\) + \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\) = (a_(n - 1) + \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\) + \(a_{n}\)
整理すると
(\(a_{n}\)\()^{2}\) - (\(\frac{1}{2}\))\(a_{n}\) + \(\frac{1}{16}\) = (a_(n - 1) + \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\)
(\(a_{n}\) - \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\) = (a_(n - 1) + \(\frac{1}{4}\)\()^{2}\)
\(a_{n}\) - \(\frac{1}{4}\) = \(\pm\)(a_(n - 1) + \(\frac{1}{4}\))
\(a_{n}\) = \(\pm\)(a_(n - 1) + \(\frac{1}{4}\)) + \(\frac{1}{4}\).

(1) 復号が + の場合
\(a_{n}\) = a_(n - 1) + \(\frac{1}{2}\)
復号が - の場合
\(a_{n}\) = -a_(n - 1).
復号が - の場合は \(a_{n}\) が全て正であるという仮定から a_(n - 1) > 0 でもあり
一方直ぐ上の式から \(a_{n}\) = -a_(n - 1) < 0 となって矛盾するから,
復号は + 意外あり得ない (各 n で復号が異なっていたとしても矛盾)。

従って \(a_{n}\) = a_(n - 1) + \(\frac{1}{2}\) であり, これは公差 \(\frac{1}{2}\) の等差数列であることを示しているから
\(a_{n}\) = \(\frac{1}{4}\) + (\(\frac{1}{2}\))(n - 1) =(2n - 1)/4.

(2)
\(a_{1}\) = \(\frac{1}{4}\) であるから, 全ての n で \(a_{n}\) = a_(n - 1) + \(\frac{1}{2}\) であったり
\(a_{n}\) = -a_(n - 1) であったりすると, 第 100 項までで, 一つだけが負で,
残りが正ということはありえない。

従って, ある m (1 < m ≦ 100) があって,
\(a_{m}\) = -a(m - 1),
a_(m + 1) = -\(a_{m}\),
\(a_{n}\) = a_(n - 1) + \(\frac{1}{2}\) (n ≠ m, m + 1)
となっているということ以外にあり得ない。
これは a_(m - 1) = a_(m + 1) となっていることを示している。

従って, m = 100 の場合, (1) の結果から \(a_{100}\) = -\(a_{99}\) = -(2・99 - 1)/4 = -\(\frac{197}{4}\).
1 < m < 100 の場合, \(a_{100}\) = (2・98 - 1)/4 = \(\frac{195}{4}\).

(最後の部分は, 例えば m = 2 とすると \(\frac{1}{4}\), -\(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{4}\), ... と,
n ≧ 3 では番号が二つ減っているのと同じであるということから分かる)

解答ありがとうございます。
(1)は理解できましたが(2)が理解できません。

ある数mを定義したのは\(a_{m}\)の時に数列\(a_{n}\)が一つ負になるようにするため。
1<m<100の場合ある数mにたいして\(a_{m}\)－1=\(a_{m}\)+1となることを使って
\(a_{100}\)=\(a_{98}\)を使ったらm=99の時だけにしか対応できなく全てのmに対して
成り立つと思えないんですが
どうして全てのmに対して成り立つと言えるのでしょうか？
こんがらがってます

正負関係なく、元々の条件から求まる式は下記のものであるから
\(a_{n}\) = \(\pm\)(a_(n - 1) + \(\frac{1}{4}\)) + \(\frac{1}{4}\)
この数列を５項まで書き出してみると、条件にあった数列が色々考えられる。
（１）は、この中の正のみを取り出したものであり、（２）は１つだけ負を
入れたものだと分かる。理解するときは、この図が役立つだろう。