平面上に点Oを中心とする半径1の円を考えて、その周上に点Aをとる。また、点PをO以外の点とする。直線OP上に、点Qを、OからみてPと同じ側にとり、OP・OQ=1となるようにする。この時次の問いに答えよ
（1）ベクトルOQをベクトルOPを用いて表せ
(2）｜ベクトルOQ－ベクトルOA｜=｜ベクトルOP－ベクトルOA｜｜ベクトルOQ｜を示せ
（3）点Pが点Aを中心とする半径r（0<r<1）の円周上を動くとき、点Qはある円周上を動くことを示せ。また、その円の半径を求めよ
考えたんですがわかりませんお願いします
★希望★完全解答★
こんにちは。
動点Ｐの位置ベクトルをｐ、点Ａの位置ベクトルをａと表すことにすると、
「ＰがＡを中心とする円を描く」とはつまり、
ｐが |ｐ－ａ|＝ｃ （ｃ＞０）を満たすことです。
同じことですが （ｐ－ａ、ｐ－ａ）＝ｃ^2 とも言えます。
これを知っていれば、易しい問題かと思います。
なお、以下の解答で「ベクトルOP」などの「ベクトル」という言葉は省略します。
（１） ＯＱ＝(ＯＰ／|ＯＰ|^2)
（２）
|ＯＱ－ＯＡ｜^2
＝|(ＯＰ／|ＯＰ|^2)－ＯＡ｜^2
＝（|ＯＰ|^2／|ＯＰ|^4)－(２／|ＯＰ|^2)（ＯＰ，ＯＡ）＋|ＯＡ|^2
ここで、|ＯＡ|^2＝１だから
上式＝１／|ＯＰ|^2（１－２（ＯＰ，ＯＡ）＋|ＯＰ|^2）
もう一度、１＝|ＯＡ|^2を考えれば
＝１／|ＯＰ|^2（|ＯＰ|^2－２（ＯＰ，ＯＡ）＋|ＯＡ|^2）
＝|ＯＱ|^2 |ＯＰーＯＡ|^2
結局、|ＯＱ－ＯＡ｜^2＝|ＯＱ|^2 |ＯＰーＯＡ|^2で、
両辺の平方根を取れば題意は示された。
（３）|ＯＰーＯＡ|＝ｒだから、（２）の式より
|ＯＱ－ＯＡ｜^2＝\(r^{2}\) |ＯＱ|^2
内積の形に書いて整理すれば
（1-\(r^{2}\)）|ＯＱ|^2－２（ＯＱ，ＯＡ）＋１＝０
で、変形して
|ＯＱ－ＯＡ/（1-\(r^{2}\)）|^2＝ｒ^2／(１－ｒ^2\()^{2}\)
となる。
これより、ＱはベクトルＯＡ/（1-\(r^{2}\)）の終点を中心とし、
半径ｒ／（１－ｒ^2）の円を描く。