f(X)=\(X^{3}\)-α\(X^{2}\)+βX-3がX=1、X=3で極値を持つ。次の問いに答えよ。
(1)αおよびβ
(2)Y=f(X)のグラフをかけ。
(3)Xが0≦X≦a(aは正の定数)の範囲を取る時、f(X)の最大値を求めよ。
という問題で、解いていくと…、
(3)f(X)=\(X^{3}\)-6\(X^{2}\)+9X-3=1…①
を満たすXを求めると、この方程式は1を重解に持つから、
解と係数の関係により、1+1+λ=6 ∴λ=4となってます。
三次方程式の場合、解と係数の使い方がワカリマセン。
何故1+1+λ=6が言えるのでしょう？
教えて下さい。
問１
ｆ（ｘ）＝ｘ3 －αｘ2 ＋βｘ－３
ｘ＝１，３のとき、極値を持つから、
ｆ′（ｘ）＝３ｘ2 －２αｘ＋β
＝３（ｘ－１）（ｘ－３）
＝３（ｘ2 －４ｘ＋３）
＝３ｘ2 －１２ｘ＋９
したがって、
｛２α＝１２
｛β＝９
∴α＝６，β＝９ ……（答）
問２
ｆ（ｘ）＝ｘ3 －αｘ2 ＋βｘ－３、α＝６，β＝９より、
ｆ（ｘ）＝ｘ3 －６ｘ2 ＋９ｘ－３
ｆ（１）＝１－６＋９－３＝１
ｆ（３）＝２７－５４＋２７－３＝－３
したがって、
ｘ＝１のとき、極大値１
ｘ＝３のとき、極小値－３
グラフは次のようになる。
ｙ切片は－３となる。
問３
０≦ｘ≦ａ（ただし、ａ＞０）の範囲でｆ（ｘ）の最大値を求めると、
場合分けして、上のグラフを見ながら、
｛０＜ａ＜１のとき、最大値ａ3 －６ａ2 ＋９ａ－３
｛１≦ａ＜４のとき、最大値１
｛４≦ａのとき、最大値ａ3 －６ａ2 ＋９ａ－３
さて、質問の「ｘ＝４」の出し方ですが、グラフからｙ＝１とグラフが交わる
のは、ｘ＝１のとき接点となり、もう一つｘ＝λのところで交点があるから、
問題の３次方程式は次のように因数分解できる。
（ｘ－１）2 （ｘ－λ）＝０
なお、因数分解された３次式は展開すると、次のようになる。
（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ）＝ｘ3 －（α＋β＋γ）ｘ2 ＋（αβ＋βγ＋γα）ｘ－αβγ
この展開式のｘ2 の項の係数と問題の３次方程式を見比べて、
α＋β＋γ＝６
したがって、
１＋１＋λ＝６
∴λ＝４