\(z^{2}\)+2z+1-2i=0を複素数の範囲で解くのはどのようにするのでしょうか。
z=-1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)(2i)から先の演算はどうやったらよいですか。
行きあたりばったりに
(1-i\()^{2}\)=-2iより(z+1\()^{2}\)+(1-i\()^{2}\)=0
(z+1\()^{2}\)=（i(1-i)\()^{2}\)より z+1=\(\pm\)i(1-i)
∴z=i,-i-2
と解いてみましたが、解の公式を使ってとくことはできないのでしょうか。
iの根号のはずし方、別の一般的な解き方等ご指導いただければ幸いです。
★希望★完全解答★
複素数の演算で解の公式を使ったことはありません。
A,B,C,Dを実数として
A+Bi=C+Di⇔A=CかつB=D
A+Bi=0⇔A=B=0
であることを利用するのが一般的でしょう。
【解答】
\(z^{2}\)+2z+1-2i=0より
(z+1\()^{2}\)=2i
a,bを実数として
z+1=a+biとおく
(a+bi\()^{2}\)=2i
\(a^{2}\)-\(b^{2}\)+2abi=2i
\(a^{2}\)-\(b^{2}\)=0かつab=1
b=\(\frac{1}{a}\)
\(a^{2}\)-(\(\frac{1}{a}\)\()^{2}\)=0
\(a^{4}\)-1=0
(\(a^{2}\)+1)(\(a^{2}\)-1)=0
\(a^{2}\)+1＞0より
\(a^{2}\)-1=0
∴a=\(\pm\)1
よって
(a,b)=(\(\pm\)1,\(\pm\)1) （複号同順）
z+1=1+i,-1-i
z=i,-2-i・・・（答）
だめかと（誰も教えてもらえないかも）と思っていたので
とてもうれしいです。
しかもとてもわかりやすい解法を教えていただきました。
wakky先生有難うございました。
感謝いたしております。
例えば、
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/comple\(\frac{x}{n}\)ode31.html#enshu:6-1-1
複素関数論では、\(\sqrt{\quad}\)z を2乗するとzになる数
ということで、実数の\(\sqrt{\quad}\) 表記とは少し異なる表現
をするようです。
ドモアブルの定理などより、
z=re^(iθ)=re^(i(θ+2nπ)) r：絶対値 θ：偏角
とすれば
\(\sqrt{\quad}\)z=\(\sqrt{\quad}\)re^(i(θ+2nπ)/2) となります。
従って、
\(\sqrt{\quad}\)(2i)=\(\sqrt{\quad}\)2e^(i(π/2+2nπ)/2)
=\(\sqrt{\quad}\)2e^(iπ/4)、\(\sqrt{\quad}\)2e^(5iπ/4）
=1+i 、-(1+i)
となります。
やっていることは、上の解法と同じです。
豆先生\(\sqrt{\quad}\)2iの解き方を有難うございました。
今日読ませて頂いたのでお礼が遅くなってすみません。
大変助かりました。感謝いたしております。