∫_c (x*\(y^{2}\))dy-(\(x^{2}\)*y)dx cは原点を中心とする半径aの円
という問題の答えは(π/2)\(a^{4}\) であるらしいのですが、
途中の計算がどうもうまくいきません。
変換のヤコビアンを使ったりするのでしょうか。
グリーンの定理を用いて解けとのことです。
どうぞよろしくお願いいたします。
★希望★完全解答★
∫_c (x*\(y^{2}\))dy-(\(x^{2}\)*y)dx cは原点を中心とする半径aの円
という問題の答えは(π/2)\(a^{4}\) であるらしいのですが、
途中の計算がどうもうまくいきません。
変換のヤコビアンを使ったりするのでしょうか。
グリーンの定理を用いて解けとのことです。
どうぞよろしくお願いいたします。
★希望★完全解答★
今、∫∫(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))dydx=∫{∫_(-\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(y^{2}\))～(\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(y^{2}\))) (\(x^{2}\)+\(y^{2}\))dx}dy
=∫_(-a～a)(2\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(y^{2}\))(\(y^{2}\)+(\(a^{2}\)-\(y^{2}\))/3)dy
ここでy=a(sinθ）とおくと 与式は
2（（\(a^{2}\)）/3+(\(\frac{2}{3}\))\(a^{2}\)*si\(n^{2}\)θ）\(a^{2}\)*co\(s^{2}\)θdθ
＝[(\(\frac{2}{3}\))\(a^{4}\)(1+cos2θ)/2+(\(\frac{4}{3}\))(1-cos2θ)*(1+cos2θ)/4]_(0～2Π)
...というふうにやったらなんとかたどりつきましたが、
もう少し賢い計算の仕方があればぜひお教えください。
グリーンの定理より与式は
∫∫(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))dxdy となり、
極座標変換にて dxdy=rdrdθ
r：0\(\vec{a}\) θ：0→2π で積分すれば
=∫∫\(r^{2}\)・rdrdθ
=(\(a^{4}\)/4)・2π
豆先生早速にもご回答有難うございました。
感謝いたしております。