OABCが球に内接し、OA=OB=OCなので球の中心は三角形ABCの外心を通る三角形ABCに
垂直な直線上にあります。
ここで球の半径が最小なので球の中心は三角形ABCの外心と一致します。そこで
半径Rは中心（この場合は三角形ABCの外心でもある）をQとすると
R=QA=QB=QCなので正弦定理より2R=\(\frac{a}{s}\)inA、
余弦定理。cosA=(\(b^{2}\)+\(c^{2}\)-\(a^{2}\))/2bcよりcosA=(\(5^{2}\)+8~2-\(7^{2}\))/(2*5*8)=\(\frac{1}{2}\),
ゆえにsinA=\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\)。
正弦定理に代入して2R=7/(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\)),
ゆえにR=7/\(\sqrt{\quad}\)3。（B,Cでやっても同様）
よって
tは二辺が7/\(\sqrt{\quad}\)3の直角二等辺三角形の斜辺なので
t=(7/\(\sqrt{\quad}\)3)*\(\sqrt{\quad}\)2=7\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{6}{3}\)・・・で良いと思います。